1480. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

Identifikujemo koeficijente kvadratne jednačine $ax^2 + bx + c = 0 :$

a = 1, \quad b = -(2m + 1), \quad c = 5m - 4

Primenjujemo Vijetove formule za zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine:

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2m + 1 \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 5m - 4 \end{cases}

Koristimo datu relaciju $4x_2 - x_1 = 10$ i prvu Vijetovu formulu da formiramo sistem jednačina po $x_1$ i $x_2 :$

\begin{cases} -x_1 + 4x_2 = 10 \\ x_1 + x_2 = 2m + 1 \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine eliminišemo $x_1$ i računamo $x_2 :$

5x_2 = 2m + 11 \implies x_2 = \frac{2m + 11}{5}

Sada računamo $x_1$ zamenom $x_2$ u jednačinu $x_1 + x_2 = 2m + 1 :$

x_1 = 2m + 1 - \frac{2m + 11}{5} = \frac{10m + 5 - 2m - 11}{5} = \frac{8m - 6}{5}

Zamenjujemo dobijene izraze za $x_1$ i $x_2$ u drugu Vijetovu formulu $x_1 \cdot x_2 = 5m - 4 :$

\frac{8m - 6}{5} \cdot \frac{2m + 11}{5} = 5m - 4

Sređujemo jednačinu množenjem sa 25 i razvijanjem proizvoda:

(8m - 6)(2m + 11) = 25(5m - 4) \\ 16m^2 + 88m - 12m - 66 = 125m - 100 \\ 16m^2 - 49m + 34 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $m$ koristeći formulu:

m_{1,2} = \frac{-(-49) \pm \sqrt{(-49)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 34}}{2 \cdot 16}

Računamo vrednost diskriminante i konačna rešenja za parametar:

m_{1,2} = \frac{49 \pm \sqrt{2401 - 2176}}{32} = \frac{49 \pm \sqrt{225}}{32} = \frac{49 \pm 15}{32}

Dobijamo dve moguće vrednosti za parametar $m :$

m_1 = \frac{64}{32} = 2, \quad m_2 = \frac{34}{32} = \frac{17}{16}

1480.Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce