1489.

192

TEKST ZADATKA

Naći tri uzastopna cela broja čiji je zbir kvadrata jednak 110.

REŠENJE ZADATKA

Neka je prvi ceo broj x. x . Naredna dva uzastopna cela broja su x+1 x+1 i x+2. x+2 .

Na osnovu uslova zadatka, zbir njihovih kvadrata iznosi 110. Postavljamo jednačinu:

x2+(x+1)2+(x+2)2=110x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = 110

Kvadriramo binome u jednačini koristeći formulu za kvadrat binoma (A+B)2=A2+2AB+B2: (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 :

x2+(x2+2x+1)+(x2+4x+4)=110x^2 + (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 110

Sređujemo jednačinu grupisanjem sličnih članova:

3x2+6x+5=1103x^2 + 6x + 5 = 110

Prebacujemo broj 110 na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

3x2+6x−105=03x^2 + 6x - 105 = 0

Primećujemo da su svi koeficijenti deljivi sa 3. Delimo celu jednačinu sa 3 kako bismo je pojednostavili:

x2+2x−35=0x^2 + 2x - 35 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule x=−b±b2−4ac2a. x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} . Zamenjujemo koeficijente a=1, a=1 , b=2 b=2 i c=−35: c=-35 :

x1,2=−2±22−4⋅1⋅(−35)2⋅1x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu):

x1,2=−2±4+1402=−2±1442x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2}

Koren iz 144 je 12, pa jednačina postaje:

x1,2=−2±122x_{1,2} = \frac{-2 \pm 12}{2}

Razdvajamo rešenja i računamo vrednosti za x1 x_1 i x2: x_2 :

x1=−2+122=5ix2=−2−122=−7x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = 5 \quad \text{i} \quad x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = -7

Pošto zadatak traži skupove od tri uzastopna cela broja, imamo dva moguća rešenja. Za prvo rešenje x1=5, x_1 = 5 , brojevi su:

5,6,75, 6, 7

Za drugo rešenje x2=−7, x_2 = -7 , brojevi su:

−7,−6,−5-7, -6, -5