1499.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Primenom Vijetovih formula odrediti vrednost realnog parametra m m tako da rešenja jednačine x2−2(m−1)x−4m=0 x^2 - 2(m - 1)x - 4m = 0 budu negativna.

x2−2(m−1)x−4m=0x^2 - 2(m - 1)x - 4m = 0
REŠENJE ZADATKA

Da bi rešenja kvadratne jednačine bila realna i negativna, moraju biti ispunjena tri uslova: diskriminanta mora biti nenegativna (kako bi rešenja bila realna), zbir rešenja mora biti negativan i proizvod rešenja mora biti pozitivan.

D≥0,x1+x2<0,x1⋅x2>0D \ge 0, \quad x_1 + x_2 < 0, \quad x_1 \cdot x_2 > 0

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine.

a=1,b=−2(m−1),c=−4ma = 1, \quad b = -2(m - 1), \quad c = -4m

Računamo diskriminantu D=b2−4ac D = b^2 - 4ac i proveravamo prvi uslov za realnost rešenja.

D=(−2(m−1))2−4⋅1⋅(−4m)=4(m2−2m+1)+16m=4m2+8m+4=4(m+1)2D = (-2(m - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4m) = 4(m^2 - 2m + 1) + 16m = 4m^2 + 8m + 4 = 4(m + 1)^2

Pošto je kvadrat svakog realnog broja veći ili jednak nuli, uslov D≥0 D \ge 0 je ispunjen za svaku vrednost parametra m. m .

4(m+1)2≥0  ⟹  m∈R4(m + 1)^2 \ge 0 \implies m \in \mathbb{R}

Primenjujemo Vijetovu formulu za zbir rešenja x1+x2=−ba x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} i postavljamo drugi uslov.

x1+x2=−−2(m−1)1=2(m−1)<0x_1 + x_2 = -\frac{-2(m - 1)}{1} = 2(m - 1) < 0

Rešavamo dobijenu linearnu nejednačinu.

m−1<0  ⟹  m<1m - 1 < 0 \implies m < 1

Primenjujemo Vijetovu formulu za proizvod rešenja x1⋅x2=ca x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} i postavljamo treći uslov.

x1⋅x2=−4m1=−4m>0x_1 \cdot x_2 = \frac{-4m}{1} = -4m > 0

Rešavamo nejednačinu za proizvod rešenja deljenjem sa negativnim brojem, pri čemu se znak nejednakosti menja.

m<0m < 0

Konačno rešenje dobijamo u preseku sva tri uslova: m∈R, m \in \mathbb{R} , m<1 m < 1 i m<0. m < 0 .

m∈(−∞,0)m \in (-\infty, 0)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti