1547.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratne jednačine, gde su m, m , n, n , a, a , b b realni parametri (zadaci 199-204):

2x+mx−2xx+m=2\frac{2x + m}{x} - \frac{2x}{x + m} = 2
REŠENJE ZADATKA

Određujemo oblast definisanosti (domen) jednačine. Imenioci ne smeju biti nula, pa mora važiti:

x≠0ix+m≠0  ⟹  x≠−mx \neq 0 \quad \text{i} \quad x + m \neq 0 \implies x \neq -m

Množimo celu jednačinu najmanjim zajedničkim sadržaocem, a to je izraz x(x+m), x(x + m) , kako bismo se oslobodili razlomaka:

2x+mx⋅x(x+m)−2xx+m⋅x(x+m)=2⋅x(x+m)\frac{2x + m}{x} \cdot x(x + m) - \frac{2x}{x + m} \cdot x(x + m) = 2 \cdot x(x + m)

Nakon skraćivanja dobijamo:

(2x+m)(x+m)−2x⋅x=2x(x+m)(2x + m)(x + m) - 2x \cdot x = 2x(x + m)

Množimo polinome i sređujemo izraze na obe strane:

2x2+2mx+mx+m2−2x2=2x2+2mx2x^2 + 2mx + mx + m^2 - 2x^2 = 2x^2 + 2mx

Poništavamo 2x2 2x^2 i −2x2 -2x^2 na levoj strani i sabiramo slične monome:

3mx+m2=2x2+2mx3mx + m^2 = 2x^2 + 2mx

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u standardnom obliku ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

2x2+2mx−3mx−m2=0  ⟹  2x2−mx−m2=02x^2 + 2mx - 3mx - m^2 = 0 \implies 2x^2 - mx - m^2 = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine. Koeficijenti su a=2, a = 2 , b=−m b = -m i c=−m2. c = -m^2 .

D=b2−4ac=(−m)2−4⋅2⋅(−m2)=m2+8m2=9m2D = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m^2) = m^2 + 8m^2 = 9m^2

Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−b±D2a=−(−m)±9m22⋅2=m±3m4x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-m) \pm \sqrt{9m^2}}{2 \cdot 2} = \frac{m \pm 3m}{4}

Razdvajamo rešenja na x1 x_1 i x2. x_2 . Prvo rešenje je:

x1=m+3m4=4m4=mx_1 = \frac{m + 3m}{4} = \frac{4m}{4} = m

Drugo rešenje je:

x2=m−3m4=−2m4=−m2x_2 = \frac{m - 3m}{4} = \frac{-2m}{4} = -\frac{m}{2}

Sada proveravamo uslove definisanosti x≠0 x \neq 0 i x≠−m. x \neq -m . Ako je m=0, m = 0 , tada je x1=0 x_1 = 0 i x2=0, x_2 = 0 , što se protivi uslovu x≠0. x \neq 0 . Dakle, za m=0 m = 0 jednačina nema rešenja.

Ako je m≠0, m \neq 0 , rešenja x1=m x_1 = m i x2=−m2 x_2 = -\frac{m}{2} su različita od 0 0 i −m. -m . Na primer, da bi bilo x1=−m, x_1 = -m , moralo bi važiti m=−m  ⟹  2m=0  ⟹  m=0, m = -m \implies 2m = 0 \implies m = 0 , što je suprotno pretpostavci da je m≠0. m \neq 0 .

Konačan zaključak o rešenjima u zavisnosti od parametra m: m :

{x∈∅,za m=0x∈{m,−m2},za m≠0\begin{cases} x \in \emptyset, & \text{za } m = 0 \\ x \in \left\{ m, -\frac{m}{2} \right\}, & \text{za } m \neq 0 \end{cases}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti