1567.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Dokazati da za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 važe relacije: x23−x13=b2−aca3b2−4ac. x_2^3 - x_1^3 = \frac{b^2 - ac}{a^3}\sqrt{b^2 - 4ac}.

REŠENJE ZADATKA

Prema Vijetovim formulama za rešenja kvadratne jednačine ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 važi:

x1+x2=−ba,x1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Razliku kubova možemo faktorisati na sledeći način:

x23−x13=(x2−x1)(x22+x1x2+x12)x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2)

Drugu zagradu možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja:

x22+x1x2+x12=(x1+x2)2−2x1x2+x1x2=(x1+x2)2−x1x2x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 + x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2

Zamenjujemo Vijetove formule u dobijeni izraz:

(x1+x2)2−x1x2=(−ba)2−ca=b2a2−ca=b2−aca2(x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - ac}{a^2}

Sada računamo razliku rešenja x2−x1. x_2 - x_1 . Koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine, gde njena rešenja označavamo sa:

x1=−b−b2−4ac2a,x2=−b+b2−4ac2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Oduzimamo ova dva rešenja:

x2−x1=−b+b2−4ac−(−b−b2−4ac)2a=2b2−4ac2a=b2−4acax_2 - x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - (-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a} = \frac{2\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}

Vraćamo se na početni izraz i zamenjujemo dobijene delove:

x23−x13=(x2−x1)⋅((x1+x2)2−x1x2)x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1) \cdot ((x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2)

Ubacujemo izračunate vrednosti:

x23−x13=b2−4aca⋅b2−aca2x_2^3 - x_1^3 = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} \cdot \frac{b^2 - ac}{a^2}

Množenjem razlomaka dobijamo konačan oblik, čime je tvrdnja dokazana.

x23−x13=b2−aca3b2−4acx_2^3 - x_1^3 = \frac{b^2 - ac}{a^3}\sqrt{b^2 - 4ac}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti