1573.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

U jednačini 3x2−2(m+1)x+m−1=0 3x^2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0 odrediti realan broj m m ako je 9x1x22+3x13+9x12x2+3x23=192. 9x_1x_2^2 + 3x_1^3 + 9x_1^2x_2 + 3x_2^3 = 192.

REŠENJE ZADATKA

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine:

a=3,b=−2(m+1),c=m−1a = 3, \quad b = -2(m+1), \quad c = m-1

Na osnovu Vijetovih formula, zbir i proizvod rešenja su:

x1+x2=−ba=2(m+1)3,x1⋅x2=ca=m−13x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2(m+1)}{3}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m-1}{3}

Sada posmatramo dati uslov zadatka. Grupišemo odgovarajuće članove i izvlačimo zajedničke činioce:

3(x13+x23)+9x1x2(x1+x2)=1923(x_1^3 + x_2^3) + 9x_1x_2(x_1 + x_2) = 192

Delimo celu jednačinu sa 3 kako bismo je pojednostavili:

(x13+x23)+3x1x2(x1+x2)=64(x_1^3 + x_2^3) + 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 64

Prepoznajemo da leva strana jednačine predstavlja algebarski identitet za kub zbira, odnosno (x1+x2)3=x13+3x12x2+3x1x22+x23: (x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 :

(x1+x2)3=64(x_1 + x_2)^3 = 64

Rešavamo dobijenu jednačinu po x1+x2: x_1 + x_2 :

x1+x2=643  ⟹  x1+x2=4x_1 + x_2 = \sqrt[3]{64} \implies x_1 + x_2 = 4

Zamenjujemo izraz za zbir rešenja dobijen iz Vijetovih formula u ovu jednačinu:

2(m+1)3=4\frac{2(m+1)}{3} = 4

Rešavamo jednačinu po m: m :

2(m+1)=12  ⟹  m+1=6  ⟹  m=52(m+1) = 12 \implies m+1 = 6 \implies m = 5

Proveravamo da li za m=5 m = 5 jednačina ima realna rešenja. Zamenjujemo m m u koeficijente i računamo diskriminantu:

D=b2−4ac=(−12)2−4⋅3⋅4=144−48=96D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 144 - 48 = 96

Kako je D>0, D > 0 , rešenja su realna, pa je dobijeni broj m m konačno rešenje.

m=5m = 5

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti