1606.

228

TEKST ZADATKA

Data je jednačina 1x−m+1x−2m=1, \frac{1}{x - m} + \frac{1}{x - 2m} = 1 , gde je m m realan parametar i (x−m)(x−2m)≠0. (x - m)(x - 2m) \neq 0 . Dokazati da su rešenja x1 x_1 i x2 x_2 te jednačine realni brojevi za svako m∈R. m \in \mathbf{R} .

REŠENJE ZADATKA

Množenjem jednačine sa (x−m)(x−2m) (x - m)(x - 2m) oslobađamo se razlomaka:

x−2m+x−m=(x−m)(x−2m)x - 2m + x - m = (x - m)(x - 2m)

Sređivanjem leve i desne strane dobijamo:

2x−3m=x2−3mx+2m22x - 3m = x^2 - 3mx + 2m^2

Prebacivanjem svih članova na desnu stranu formiramo kvadratnu jednačinu oblika ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

x2−3mx−2x+2m2+3m=0x^2 - 3mx - 2x + 2m^2 + 3m = 0

Grupisanjem članova uz x x dobijamo:

x2−(3m+2)x+2m2+3m=0x^2 - (3m + 2)x + 2m^2 + 3m = 0

Da bi rešenja kvadratne jednačine bila realna, njena diskriminanta mora biti veća ili jednaka nuli. Računamo diskriminantu D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(−(3m+2))2−4⋅1⋅(2m2+3m)D = (-(3m + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m^2 + 3m)

Kvadriranjem binoma i množenjem dobijamo:

D=9m2+12m+4−8m2−12mD = 9m^2 + 12m + 4 - 8m^2 - 12m

Sređivanjem izraza za diskriminantu dobijamo:

D=m2+4D = m^2 + 4

Pošto je kvadrat svakog realnog broja nenegativan (m2≥0 m^2 \ge 0 ), sledi da je:

m2+4>0m^2 + 4 > 0

Kako je diskriminanta strogo veća od nule za svako m∈R, m \in \mathbf{R} , zaključujemo da jednačina uvek ima dva različita realna rešenja, čime je dokaz završen.