1608.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Bazen sa vodom se puni kroz širu cev za vreme koje je 5 5 časova kraće od vremena punjenja kroz užu cev. Kroz obe cevi se puni za 6 6 časova. Za koje vreme će se bazen napuniti kroz svaku od cevi posebno?

REŠENJE ZADATKA

Neka je x x vreme (u časovima) potrebno da se bazen napuni samo kroz užu cev. Tada je vreme potrebno da se bazen napuni samo kroz širu cev x−5 x - 5 časova.

Za jedan čas uza cev napuni 1x \frac{1}{x} deo bazena, a šira cev 1x−5 \frac{1}{x-5} deo bazena. Prema tekstu zadatka, obe cevi zajedno za jedan čas napune 16 \frac{1}{6} bazena.

Postavljamo jednačinu na osnovu brzine punjenja bazena:

1x+1x−5=16\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{6}

Vreme punjenja mora biti pozitivno, pa mora važiti x>0 x > 0 i x−5>0. x - 5 > 0 . Iz ovoga sledi da je uslov zadatka x>5. x > 5 .

Množimo celu jednačinu sa najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca, a to je 6x(x−5), 6x(x-5) , kako bismo se oslobodili razlomaka.

6(x−5)+6x=x(x−5)6(x-5) + 6x = x(x-5)

Sređujemo dobijenu jednačinu oslobađanjem od zagrada:

6x−30+6x=x2−5x6x - 30 + 6x = x^2 - 5x

Prebacujemo sve članove na desnu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu u opštem obliku ax2+bx+c=0: ax^2 + bx + c = 0 :

x2−17x+30=0x^2 - 17x + 30 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu. Prvo računamo diskriminantu D=b2−4ac: D = b^2 - 4ac :

D=(−17)2−4⋅1⋅30=289−120=169D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169

Pošto je D>0, D > 0 , jednačina ima dva različita realna rešenja. Primenjujemo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−(−17)±1692⋅1=17±132x_{1,2} = \frac{-(-17) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 13}{2}

Računamo prvo rešenje x1: x_1 :

x1=17+132=302=15x_1 = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15

Računamo drugo rešenje x2: x_2 :

x2=17−132=42=2x_2 = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2

Proveravamo dobijena rešenja u odnosu na uslov zadatka x>5. x > 5 . Rešenje x2=2 x_2 = 2 odbacujemo jer ne zadovoljava uslov (vreme punjenja kroz širu cev bi bilo negativno, 2−5=−3 2 - 5 = -3 ). Zato usvajamo samo x=15. x = 15 .

Računamo vreme potrebno da se bazen napuni kroz širu cev:

x−5=15−5=10x - 5 = 15 - 5 = 10

Zaključujemo da se bazen kroz užu cev napuni za 15 15 časova, a kroz širu cev za 10 10 časova.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti