2966.

Sinusna i kosinusna teorema i primena

TEKST ZADATKA

Rešiti trougao bez upotrebe računskih pomagala: a=22, a = 2\sqrt{2} , α=45∘, \alpha = 45^\circ , β=120∘. \beta = 120^\circ .

REŠENJE ZADATKA

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180∘. 180^\circ . Računamo treći ugao γ. \gamma .

γ=180∘−(α+β)=180∘−(45∘+120∘)=180∘−165∘=15∘\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (45^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ

Koristimo sinusnu teoremu da izračunamo stranicu b. b .

asin⁡α=bsin⁡β  ⟹  b=asin⁡βsin⁡α\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies b = a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}

Zamenjujemo poznate vrednosti. Znamo da je sin⁡120∘=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡60∘=32 \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} i sin⁡45∘=22. \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} .

b=22sin⁡120∘sin⁡45∘=223222=2232=23b = 2\sqrt{2} \frac{\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = 2\sqrt{2} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}

Da bismo izračunali stranicu c c pomoću sinusne teoreme, prvo računamo sin⁡15∘ \sin 15^\circ koristeći adicionu formulu za sinus razlike uglova.

sin⁡15∘=sin⁡(45∘−30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ

Zamenjujemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za uglove od 45∘ 45^\circ i 30∘. 30^\circ .

sin⁡15∘=22⋅32−22⋅12=6−24\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

Sada koristimo sinusnu teoremu da izračunamo stranicu c. c .

csin⁡γ=asin⁡α  ⟹  c=asin⁡γsin⁡α\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{a}{\sin \alpha} \implies c = a \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}

Zamenjujemo poznate vrednosti i računamo c. c .

c=226−2422=226−222=6−2c = 2\sqrt{2} \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti