1789.

318.a

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina i dati odgovarajuću geometrijsku interpretaciju:

{2x2+2x−y−1=0y−2x−1=0\begin{cases} 2x^2 + 2x - y - 1 = 0 \\ y - 2x - 1 = 0 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Iz druge jednačine sistema izražavamo promenljivu y y preko promenljive x. x .

y=2x+1y = 2x + 1

Zamenjujemo izraz za y y u prvu jednačinu sistema kako bismo dobili jednačinu po x. x .

2x2+2x−(2x+1)−1=02x^2 + 2x - (2x + 1) - 1 = 0

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu.

2x2+2x−2x−1−1=02x2−2=02x^2 + 2x - 2x - 1 - 1 = 0 \\ 2x^2 - 2 = 0

Rešavamo nepotpunu kvadratnu jednačinu po x. x .

2x2=2x2=1x1=1,x2=−12x^2 = 2 \\ x^2 = 1 \\ x_1 = 1, \quad x_2 = -1

Računamo odgovarajuće vrednosti za y y zamenom dobijenih vrednosti x x u izraz y=2x+1. y = 2x + 1 .

Za x1=1:y1=2(1)+1=3Za x2=−1:y2=2(−1)+1=−1\text{Za } x_1 = 1: y_1 = 2(1) + 1 = 3 \\ \text{Za } x_2 = -1: y_2 = 2(-1) + 1 = -1

Rešenja sistema su uređeni parovi:

(x1,y1)=(1,3),(x2,y2)=(−1,−1)(x_1, y_1) = (1, 3), \quad (x_2, y_2) = (-1, -1)

Geometrijska interpretacija: Prva jednačina y=2x2+2x−1 y = 2x^2 + 2x - 1 predstavlja parabolu, a druga jednačina y=2x+1 y = 2x + 1 predstavlja pravu. Rešenja sistema su koordinate tačaka preseka ove dve krive u koordinatnoj ravni.

M1(1,3),M2(−1,−1)M_1(1, 3), \quad M_2(-1, -1)