1816.

337

TEKST ZADATKA

Rešiti sledeće sisteme jednačina u skupu realnih brojeva:

{y+x2=5y2+x4=17\begin{cases} y + x^2 = 5 \\ y^2 + x^4 = 17 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Iz prve jednačine izražavamo y y preko x. x .

y=5−x2y = 5 - x^2

Zamenjujemo dobijeni izraz za y y u drugu jednačinu sistema.

(5−x2)2+x4=17(5 - x^2)^2 + x^4 = 17

Kvadriramo binom i sređujemo jednačinu.

25−10x2+x4+x4=172x4−10x2+8=0x4−5x2+4=0\begin{aligned} 25 - 10x^2 + x^4 + x^4 &= 17 \\ 2x^4 - 10x^2 + 8 &= 0 \\ x^4 - 5x^2 + 4 &= 0 \end{aligned}

Uvodimo smenu t=x2, t = x^2 , pri čemu je t≥0. t \ge 0 .

t2−5t+4=0t^2 - 5t + 4 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po t. t .

t1,2=5±25−162=5±32  ⟹  t1=4,t2=1t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies t_1 = 4, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za t1=4 t_1 = 4 i računamo odgovarajuće vrednosti za x x i y. y .

x2=4  ⟹  x1=2,x2=−2y1=5−22=1y2=5−(−2)2=1\begin{aligned} x^2 &= 4 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \\ y_1 &= 5 - 2^2 = 1 \\ y_2 &= 5 - (-2)^2 = 1 \end{aligned}

Vraćamo smenu za t2=1 t_2 = 1 i računamo odgovarajuće vrednosti za x x i y. y .

x2=1  ⟹  x3=1,x4=−1y3=5−12=4y4=5−(−1)2=4\begin{aligned} x^2 &= 1 \implies x_3 = 1, \quad x_4 = -1 \\ y_3 &= 5 - 1^2 = 4 \\ y_4 &= 5 - (-1)^2 = 4 \end{aligned}

Zapisujemo konačan skup rešenja sistema.

(x,y)∈{(2,1),(−2,1),(1,4),(−1,4)}(x, y) \in \{(2, 1), (-2, 1), (1, 4), (-1, 4)\}