969.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći identitet za uslov ab(a−b)≠0: ab(a - b) \neq 0 :

(ab−1−a−1b)(a−2−2a−1b−1+b−2)−1=ab(a+b)a−b(ab^{-1} - a^{-1}b)(a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} = \frac{ab(a + b)}{a - b}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati izraze sa negativnim eksponentima u razlomke unutar zagrada.

(ab−ba)(1a2−2ab+1b2)−1\left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) \left( \frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2} \right)^{-1}

Sredimo izraze unutar zagrada nalaženjem zajedničkog sadržaoca.

(a2−b2ab)(b2−2ab+a2a2b2)−1\left( \frac{a^2 - b^2}{ab} \right) \left( \frac{b^2 - 2ab + a^2}{a^2b^2} \right)^{-1}

Primetimo da je brojilac drugog izraza kvadrat razlike (a−b)2. (a-b)^2 .

b2−2ab+a2=(a−b)2b^2 - 2ab + a^2 = (a - b)^2

Sada primenjujemo osobinu negativnog eksponenta x−1=1x x^{-1} = \frac{1}{x} na drugu zagradu, što invertuje razlomak.

a2−b2ab⋅a2b2(a−b)2\frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a - b)^2}

Rastavljamo razliku kvadrata a2−b2 a^2 - b^2 na činioce.

(a−b)(a+b)ab⋅a2b2(a−b)2\frac{(a - b)(a + b)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(a - b)^2}

Vršimo skraćivanje izraza: skraćujemo ab ab i jedan faktor (a−b). (a - b) .

(a+b)⋅aba−b(a + b) \cdot \frac{ab}{a - b}

Konačnim sređivanjem dobijamo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

ab(a+b)a−b\frac{ab(a + b)}{a - b}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti