971.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći algebarski izraz i izračunati njegovu vrednost za datu vrednost promenljive x: x :

1+(a+x)−11−(a+x)−1(1−1−(a2+x2)2ax),x=(a−1)−1\frac{1 + (a + x)^{-1}}{1 - (a + x)^{-1}} \left( 1 - \frac{1 - (a^2 + x^2)}{2ax} \right), \quad x = (a - 1)^{-1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati stepene sa negativnim eksponentom u razlomke unutar prvog dela izraza.

1+1a+x1−1a+x\frac{1 + \frac{1}{a + x}}{1 - \frac{1}{a + x}}

Sređujemo dvojni razlomak tako što ćemo brojilac i imenilac svesti na zajednički imenilac a+x. a + x .

a+x+1a+xa+x−1a+x=a+x+1a+x−1\frac{\frac{a + x + 1}{a + x}}{\frac{a + x - 1}{a + x}} = \frac{a + x + 1}{a + x - 1}

Sada sređujemo izraz u zagradi. Svodimo na zajednički imenilac 2ax. 2ax .

1−1−a2−x22ax=2ax−(1−a2−x2)2ax1 - \frac{1 - a^2 - x^2}{2ax} = \frac{2ax - (1 - a^2 - x^2)}{2ax}

Oslobađamo se zagrade u brojiocu i prepoznajemo kvadrat binoma.

2ax−1+a2+x22ax=(a2+2ax+x2)−12ax=(a+x)2−12ax\frac{2ax - 1 + a^2 + x^2}{2ax} = \frac{(a^2 + 2ax + x^2) - 1}{2ax} = \frac{(a + x)^2 - 1}{2ax}

Brojilac drugog dela izraza možemo napisati kao razliku kvadrata.

(a+x−1)(a+x+1)2ax\frac{(a + x - 1)(a + x + 1)}{2ax}

Množimo dva dobijena dela izraza i vršimo skraćivanje.

a+x+1a+x−1⋅(a+x−1)(a+x+1)2ax=(a+x+1)22ax\frac{a + x + 1}{a + x - 1} \cdot \frac{(a + x - 1)(a + x + 1)}{2ax} = \frac{(a + x + 1)^2}{2ax}

Zamenjujemo datu vrednost x=1a−1 x = \frac{1}{a - 1} u uprošćeni izraz.

(a+1a−1+1)22a⋅1a−1\frac{(a + \frac{1}{a - 1} + 1)^2}{2a \cdot \frac{1}{a - 1}}

Sređujemo izraz u zagradi (brojilac) i imenilac.

(a(a−1)+1+(a−1)a−1)22aa−1=(a2−a+1+a−1a−1)22aa−1=(a2a−1)22aa−1\frac{(\frac{a(a - 1) + 1 + (a - 1)}{a - 1})^2}{\frac{2a}{a - 1}} = \frac{(\frac{a^2 - a + 1 + a - 1}{a - 1})^2}{\frac{2a}{a - 1}} = \frac{(\frac{a^2}{a - 1})^2}{\frac{2a}{a - 1}}

Konačno sređujemo dvojni razlomak nakon kvadriranja.

a4(a−1)22aa−1=a4(a−1)2a(a−1)2=a32(a−1)\frac{\frac{a^4}{(a - 1)^2}}{\frac{2a}{a - 1}} = \frac{a^4(a - 1)}{2a(a - 1)^2} = \frac{a^3}{2(a - 1)}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti