TEKST ZADATKA
Uprostiti izraz za date uslove x = 2 m n n 2 + 1 , x = \frac{2mn}{n^2 + 1} , x = n 2 + 1 2 mn , m > 0 , m > 0 , m > 0 , 0 < n < 1 : 0 < n < 1 : 0 < n < 1 :
( m + x ) 1 / 2 + ( m − x ) 1 / 2 ( m + x ) 1 / 2 − ( m − x ) 1 / 2 \frac{(m + x)^{1/2} + (m - x)^{1/2}}{(m + x)^{1/2} - (m - x)^{1/2}} ( m + x ) 1/2 − ( m − x ) 1/2 ( m + x ) 1/2 + ( m − x ) 1/2 REŠENJE ZADATKA
Prvo računamo vrednosti izraza pod korenom, odnosno m + x m + x m + x i m − x , m - x , m − x , zamenom date vrednosti za x . x . x .
Računamo izraz m + x m + x m + x svođenjem na zajednički imenilac i prepoznavanjem kvadrata binoma u brojiocu:
m + x = m + 2 m n n 2 + 1 = m ( n 2 + 1 ) + 2 m n n 2 + 1 = m ( n 2 + 2 n + 1 ) n 2 + 1 = m ( n + 1 ) 2 n 2 + 1 m + x = m + \frac{2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 1) + 2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 2n + 1)}{n^2 + 1} = \frac{m(n + 1)^2}{n^2 + 1} m + x = m + n 2 + 1 2 mn = n 2 + 1 m ( n 2 + 1 ) + 2 mn = n 2 + 1 m ( n 2 + 2 n + 1 ) = n 2 + 1 m ( n + 1 ) 2 Na isti način računamo izraz m − x : m - x : m − x :
m − x = m − 2 m n n 2 + 1 = m ( n 2 + 1 ) − 2 m n n 2 + 1 = m ( n 2 − 2 n + 1 ) n 2 + 1 = m ( n − 1 ) 2 n 2 + 1 m - x = m - \frac{2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 + 1) - 2mn}{n^2 + 1} = \frac{m(n^2 - 2n + 1)}{n^2 + 1} = \frac{m(n - 1)^2}{n^2 + 1} m − x = m − n 2 + 1 2 mn = n 2 + 1 m ( n 2 + 1 ) − 2 mn = n 2 + 1 m ( n 2 − 2 n + 1 ) = n 2 + 1 m ( n − 1 ) 2 Sada računamo koren prvog izraza, što odgovara stepenu 1 / 2. 1/2 . 1/2. Prilikom korenovanja kvadrata koristimo apsolutnu vrednost: A 2 = ∣ A ∣ . \sqrt{A^2} = |A| . A 2 = ∣ A ∣. Kako je m > 0 m > 0 m > 0 i n > 0 , n > 0 , n > 0 , važi n + 1 > 0 , n + 1 > 0 , n + 1 > 0 , pa je apsolutna vrednost jednaka samom izrazu.
( m + x ) 1 / 2 = m ( n + 1 ) 2 n 2 + 1 = m ∣ n + 1 ∣ n 2 + 1 = m ( n + 1 ) n 2 + 1 (m + x)^{1/2} = \sqrt{\frac{m(n + 1)^2}{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}|n + 1|}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}} ( m + x ) 1/2 = n 2 + 1 m ( n + 1 ) 2 = n 2 + 1 m ∣ n + 1∣ = n 2 + 1 m ( n + 1 ) Zatim računamo koren drugog izraza. Ovde moramo biti posebno pažljivi sa apsolutnom vrednošću.
( m − x ) 1 / 2 = m ( n − 1 ) 2 n 2 + 1 = m ∣ n − 1 ∣ n 2 + 1 (m - x)^{1/2} = \sqrt{\frac{m(n - 1)^2}{n^2 + 1}} = \frac{\sqrt{m}|n - 1|}{\sqrt{n^2 + 1}} ( m − x ) 1/2 = n 2 + 1 m ( n − 1 ) 2 = n 2 + 1 m ∣ n − 1∣ Zbog datog uslova 0 < n < 1 , 0 < n < 1 , 0 < n < 1 , izraz n − 1 n - 1 n − 1 pod apsolutnom vrednošću je negativan. Zato je njegova apsolutna vrednost jednaka − ( n − 1 ) = 1 − n . -(n - 1) = 1 - n . − ( n − 1 ) = 1 − n .
( m − x ) 1 / 2 = m ( 1 − n ) n 2 + 1 (m - x)^{1/2} = \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}} ( m − x ) 1/2 = n 2 + 1 m ( 1 − n ) Zamenjujemo dobijene vrednosti korena nazad u početni razlomak.
m ( n + 1 ) n 2 + 1 + m ( 1 − n ) n 2 + 1 m ( n + 1 ) n 2 + 1 − m ( 1 − n ) n 2 + 1 \frac{\frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}}}{\frac{\sqrt{m}(n + 1)}{\sqrt{n^2 + 1}} - \frac{\sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{n^2 + 1}}} n 2 + 1 m ( n + 1 ) − n 2 + 1 m ( 1 − n ) n 2 + 1 m ( n + 1 ) + n 2 + 1 m ( 1 − n ) Množimo i brojilac i imenilac sa zajedničkim imeniocem n 2 + 1 \sqrt{n^2 + 1} n 2 + 1 kako bismo uprostili dvojni razlomak.
m ( n + 1 ) + m ( 1 − n ) m ( n + 1 ) − m ( 1 − n ) \frac{\sqrt{m}(n + 1) + \sqrt{m}(1 - n)}{\sqrt{m}(n + 1) - \sqrt{m}(1 - n)} m ( n + 1 ) − m ( 1 − n ) m ( n + 1 ) + m ( 1 − n ) Izvlačimo m \sqrt{m} m kao zajednički činilac u brojiocu i imeniocu, a zatim ga skraćujemo.
m ( n + 1 + 1 − n ) m ( n + 1 − ( 1 − n ) ) = m ⋅ 2 m ⋅ ( n + 1 − 1 + n ) = 2 2 n \frac{\sqrt{m}(n + 1 + 1 - n)}{\sqrt{m}(n + 1 - (1 - n))} = \frac{\sqrt{m} \cdot 2}{\sqrt{m} \cdot (n + 1 - 1 + n)} = \frac{2}{2n} m ( n + 1 − ( 1 − n )) m ( n + 1 + 1 − n ) = m ⋅ ( n + 1 − 1 + n ) m ⋅ 2 = 2 n 2 Na kraju, skraćujemo razlomak i time dobijamo konačan rezultat.