1226.

Stepen sa racionalnim izložiocem

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz uz date uslove a,b,c>0: a, b, c > 0 :

(bc34+a2bc4a+c+bc4)2+bc+3bc+3−1\frac{\left( \frac{\sqrt[4]{bc^3} + \sqrt[4]{a^2bc}}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} + \sqrt[4]{bc} \right)^2 + bc + 3}{\sqrt{bc} + 3} - 1
REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo prvo razlomak unutar zagrade. Izvlačimo zajednički faktor iz brojioca. Primetimo da je bc34=bc4⋅c24=bc4⋅c \sqrt[4]{bc^3} = \sqrt[4]{bc} \cdot \sqrt[4]{c^2} = \sqrt[4]{bc} \cdot \sqrt{c} i a2bc4=a24⋅bc4=a⋅bc4. \sqrt[4]{a^2bc} = \sqrt[4]{a^2} \cdot \sqrt[4]{bc} = \sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{bc} .

bc4(c+a)a+c\frac{\sqrt[4]{bc}(\sqrt{c} + \sqrt{a})}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}

Skraćujemo izraz u brojiocu sa imeniocem, jer je c+a=a+c≠0. \sqrt{c} + \sqrt{a} = \sqrt{a} + \sqrt{c} \neq 0 .

bc4(a+c)a+c=bc4\frac{\sqrt[4]{bc}(\sqrt{a} + \sqrt{c})}{\sqrt{a} + \sqrt{c}} = \sqrt[4]{bc}

Vraćamo dobijeni rezultat nazad u početni izraz.

(bc4+bc4)2+bc+3bc+3−1\frac{\left( \sqrt[4]{bc} + \sqrt[4]{bc} \right)^2 + bc + 3}{\sqrt{bc} + 3} - 1

Sabiramo članove u zagradi i kvadriramo ih.

(2bc4)2=4(bc4)2=4bc\left( 2\sqrt[4]{bc} \right)^2 = 4\left(\sqrt[4]{bc}\right)^2 = 4\sqrt{bc}

Zapisujemo novi oblik celog izraza nakon kvadriranja.

bc+4bc+3bc+3−1\frac{bc + 4\sqrt{bc} + 3}{\sqrt{bc} + 3} - 1

Preuređujemo brojilac kako bismo ga faktorisali. Možemo ga posmatrati kao kvadratni trinom po promenljivoj bc. \sqrt{bc} .

bc+4bc+3=(bc)2+4bc+3bc + 4\sqrt{bc} + 3 = (\sqrt{bc})^2 + 4\sqrt{bc} + 3

Faktorišemo trinom tražeći dva broja čiji je proizvod 3, a zbir 4. To su brojevi 1 i 3.

(bc)2+4bc+3=(bc+1)(bc+3)(\sqrt{bc})^2 + 4\sqrt{bc} + 3 = (\sqrt{bc} + 1)(\sqrt{bc} + 3)

Zamenjujemo faktorisani brojilac u glavni izraz i skraćujemo razlomak sa bc+3 \sqrt{bc} + 3 (što je dozvoljeno jer je bc+3>0 \sqrt{bc} + 3 > 0 ).

(bc+1)(bc+3)bc+3−1=(bc+1)−1\frac{(\sqrt{bc} + 1)(\sqrt{bc} + 3)}{\sqrt{bc} + 3} - 1 = (\sqrt{bc} + 1) - 1

Sređivanjem dobijamo konačan rezultat.

bc\sqrt{bc}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti