2405.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti dati trigonometrijski izraz primenom adicionih formula i pravila za svođenje na oštar ugao:

1−2sin⁡2(α−3π2)sin⁡(α−π)cos⁡(π+α)+tg(3π2−α)\frac{1 - 2\sin^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)}{\sin(\alpha - \pi) \cos(\pi + \alpha)} + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pojedinačno odrediti vrednosti trigonometrijskih funkcija u brojiocu i imeniocu koristeći parnost i pravila svođenja na oštar ugao. Za brojilac imamo:

sin⁡(α−3π2)=−sin⁡(3π2−α)=−(−cos⁡α)=cos⁡α\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -(-\cos \alpha) = \cos \alpha

Sada određujemo vrednosti funkcija u imeniocu prvog razlomka:

sin⁡(α−π)=−sin⁡(π−α)=−sin⁡αcos⁡(π+α)=−cos⁡α\begin{aligned} \sin(\alpha - \pi) &= -\sin(\pi - \alpha) = -\sin \alpha \\ \cos(\pi + \alpha) &= -\cos \alpha \end{aligned}

Zatim određujemo vrednost drugog sabirka u izrazu:

tg(3π2−α)=ctg α\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg } \alpha

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u polazni izraz:

1−2cos⁡2α(−sin⁡α)⋅(−cos⁡α)+ctg α=1−2cos⁡2αsin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α\frac{1 - 2\cos^2 \alpha}{(-\sin \alpha) \cdot (-\cos \alpha)} + \text{ctg } \alpha = \frac{1 - 2\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Svodimo izraze na zajednički imenilac sin⁡αcos⁡α: \sin \alpha \cos \alpha :

1−2cos⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α=1−cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\frac{1 - 2\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 , odakle je 1−cos⁡2α=sin⁡2α: 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha :

sin⁡2αsin⁡αcos⁡α=sin⁡αcos⁡α=tg α\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti