2412.

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz korišćenjem svođenja na oštar ugao i osnovnih trigonometrijskih identiteta:

sin⁡3(270∘−α)cos⁡(α−360∘)tg3(90∘−α)cos⁡3(270∘−α)\frac{\sin^3(270^\circ - \alpha) \cos(\alpha - 360^\circ)}{\text{tg}^3(90^\circ - \alpha) \cos^3(270^\circ - \alpha)}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti vrednosti pojedinačnih trigonometrijskih funkcija koristeći pravila za svođenje na oštar ugao. Za ugao 270∘−α, 270^\circ - \alpha , koji se nalazi u trećem kvadrantu, sinus je negativan i funkcija prelazi u ko-funkciju jer je 270∘=3⋅90∘: 270^\circ = 3 \cdot 90^\circ :

sin⁡(270∘−α)=−cos⁡α\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos \alpha

Slično, za kosinus u trećem kvadrantu na 270∘−α, 270^\circ - \alpha , vrednost je negativna i funkcija prelazi u sinus:

cos⁡(270∘−α)=−sin⁡α\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin \alpha

Za funkciju cos⁡(α−360∘), \cos(\alpha - 360^\circ) , koristimo parnost kosinusa cos⁡(−x)=cos⁡x \cos(-x) = \cos x i periodičnost cos⁡(x−360∘)=cos⁡x: \cos(x - 360^\circ) = \cos x :

cos⁡(α−360∘)=cos⁡(360∘−α)=cos⁡α\cos(\alpha - 360^\circ) = \cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha

Za tangens u prvom kvadrantu na 90∘−α, 90^\circ - \alpha , funkcija je pozitivna i prelazi u kotangens:

tg(90∘−α)=ctg α\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha

Sada zamenjujemo dobijene vrednosti u početni izraz:

(−cos⁡α)3⋅cos⁡α(ctg α)3⋅(−sin⁡α)3\frac{(-\cos \alpha)^3 \cdot \cos \alpha}{(\text{ctg } \alpha)^3 \cdot (-\sin \alpha)^3}

Sređujemo stepene i predznake u brojiocu i imeniocu:

−cos⁡3α⋅cos⁡αctg3α⋅(−sin⁡3α)=−cos⁡4α−ctg3α⋅sin⁡3α=cos⁡4αctg3α⋅sin⁡3α\frac{-\cos^3 \alpha \cdot \cos \alpha}{\text{ctg}^3 \alpha \cdot (-\sin^3 \alpha)} = \frac{-\cos^4 \alpha}{-\text{ctg}^3 \alpha \cdot \sin^3 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha}{\text{ctg}^3 \alpha \cdot \sin^3 \alpha}

Koristimo definiciju kotangensa ctg α=cos⁡αsin⁡α \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} da dalje uprostimo imenilac:

ctg3α⋅sin⁡3α=(cos⁡αsin⁡α)3⋅sin⁡3α=cos⁡3αsin⁡3α⋅sin⁡3α=cos⁡3α\text{ctg}^3 \alpha \cdot \sin^3 \alpha = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^3 \cdot \sin^3 \alpha = \frac{\cos^3 \alpha}{\sin^3 \alpha} \cdot \sin^3 \alpha = \cos^3 \alpha

Konačno, delimo brojilac dobijenim izrazom u imeniocu:

cos⁡4αcos⁡3α=cos⁡α\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^3 \alpha} = \cos \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti