2418.

638

TEKST ZADATKA

Dokazati identitete (zadaci 636-638):

cos⁡(3π2−α)ctg(π2+α)cos⁡(−α)cos⁡(2π+α)tg(π−α)=−sin⁡α\frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \cos(-\alpha)}{\cos(2\pi + \alpha) \text{tg}(\pi - \alpha)} = -\sin \alpha
REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali identitet, pojednostavićemo izraz na levoj strani jednakosti koristeći formule za svođenje na prvi kvadrant i osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija. Prvo ćemo odrediti vrednost svakog pojedinačnog činioca.

Za izraz cos⁡(3π2−α), \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) , ugao pripada trećem kvadrantu gde je kosinus negativan, a funkcija prelazi u svoju kofunkciju (sinus):

cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha

Za izraz ctg(π2+α), \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) , ugao pripada drugom kvadrantu gde je kotangens negativan, a funkcija prelazi u svoju kofunkciju (tangens):

ctg(π2+α)=−tgα\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{tg} \alpha

Kosinus je parna funkcija, pa važi:

cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha

Zbog periodičnosti kosinusne funkcije (osnovni period je 2π 2\pi ), imamo:

cos⁡(2π+α)=cos⁡α\cos(2\pi + \alpha) = \cos \alpha

Za izraz tg(π−α), \text{tg}(\pi - \alpha) , ugao pripada drugom kvadrantu gde je tangens negativan, a funkcija ostaje ista:

tg(π−α)=−tgα\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg} \alpha

Sada zamenjujemo sve dobijene vrednosti u početni izraz na levoj strani jednakosti:

(−sin⁡α)⋅(−tgα)⋅cos⁡αcos⁡α⋅(−tgα)\frac{(-\sin \alpha) \cdot (-\text{tg} \alpha) \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \cdot (-\text{tg} \alpha)}

Skraćujemo razlomak. Činioci cos⁡α \cos \alpha i −tgα -\text{tg} \alpha se nalaze i u brojiocu i u imeniocu, pa ih možemo skratiti:

−sin⁡α-\sin \alpha

Nakon skraćivanja, dobijamo izraz koji je tačno jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je identitet uspešno dokazan.

−sin⁡α=−sin⁡α-\sin \alpha = -\sin \alpha