2628.

754.đ

TEKST ZADATKA

Predstaviti u obliku zbira ili razlike sledeću funkciju: sin⁡4x. \sin^4 x .

sin⁡4x\sin^4 x
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo izraz sin⁡4x \sin^4 x napisati kao kvadrat kvadrata sinusa.

sin⁡4x=(sin⁡2x)2\sin^4 x = (\sin^2 x)^2

Koristimo formulu za transformaciju proizvoda sinusa u zbir (razliku) za slučaj sin⁡xsin⁡x: \sin x \sin x : sin⁡2x=12(cos⁡(x−x)−cos⁡(x+x)). \sin^2 x = \frac{1}{2}(\cos(x - x) - \cos(x + x)) .

sin⁡2x=12(1−cos⁡2x)\sin^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x)

Sada zamenjujemo dobijeni izraz u početnu formulu i kvadriramo binom.

sin⁡4x=(12(1−cos⁡2x))2=14(1−2cos⁡2x+cos⁡22x)\sin^4 x = \left( \frac{1}{2}(1 - \cos 2x) \right)^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)

Primenjujemo formulu za transformaciju proizvoda kosinusa cos⁡2xcos⁡2x \cos 2x \cos 2x u zbir: cos⁡22x=12(cos⁡(2x+2x)+cos⁡(2x−2x)). \cos^2 2x = \frac{1}{2}(\cos(2x + 2x) + \cos(2x - 2x)) .

cos⁡22x=12(cos⁡4x+1)\cos^2 2x = \frac{1}{2}(\cos 4x + 1)

Zamenjujemo izraz za cos⁡22x \cos^2 2x nazad u funkciju.

sin⁡4x=14(1−2cos⁡2x+12(1+cos⁡4x))\sin^4 x = \frac{1}{4} \left( 1 - 2\cos 2x + \frac{1}{2}(1 + \cos 4x) \right)

Sređujemo izraz unutar zagrade sabiranjem konstanti.

sin⁡4x=14(1+12−2cos⁡2x+12cos⁡4x)=14(32−2cos⁡2x+12cos⁡4x)\sin^4 x = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x \right)

Izvlačimo zajednički faktor 12 \frac{1}{2} iz zagrade kako bismo dobili konačan oblik.

sin⁡4x=18(3−4cos⁡2x+cos⁡4x)\sin^4 x = \frac{1}{8} (3 - 4\cos 2x + \cos 4x)