2688.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Za uglove trougla važi relacija sin⁡α=4sin⁡α2sin⁡β2cos⁡γ2. \sin \alpha = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} . Dokazati da je trougao jednakokrak.

REŠENJE ZADATKA

Zbir uglova u trouglu je π, \pi , pa važi α+β+γ=π. \alpha + \beta + \gamma = \pi . Izrazimo ugao γ2 \frac{\gamma}{2} preko ostalih uglova.

γ2=π−(α+β)2=π2−α+β2\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi - (\alpha + \beta)}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}

Primenimo dobijeni izraz na cos⁡γ2 \cos \frac{\gamma}{2} koristeći trigonometrijski identitet cos⁡(π2−x)=sin⁡x. \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x .

cos⁡γ2=cos⁡(π2−α+β2)=sin⁡α+β2\cos \frac{\gamma}{2} = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \sin \frac{\alpha + \beta}{2}

Zamenimo dobijeni izraz u početnu jednačinu.

sin⁡α=4sin⁡α2sin⁡β2sin⁡α+β2\sin \alpha = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2}

Primenimo formulu za sinus dvostrukog ugla na levu stranu jednačine, sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2. \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} .

2sin⁡α2cos⁡α2=4sin⁡α2sin⁡β2sin⁡α+β22 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2}

Kako je α \alpha ugao trougla, važi 0<α<π, 0 < \alpha < \pi , pa je sin⁡α2≠0. \sin \frac{\alpha}{2} \neq 0 . Možemo podeliti jednačinu sa 2sin⁡α2. 2 \sin \frac{\alpha}{2} .

cos⁡α2=2sin⁡β2sin⁡α+β2\cos \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2}

Primenimo formulu za proizvod sinusa sin⁡xsin⁡y=12(cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)) \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) na desnu stranu jednačine.

2sin⁡β2sin⁡α+β2=cos⁡(α+β2−β2)−cos⁡(α+β2+β2)=cos⁡α2−cos⁡α+2β22 \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\beta}{2} \right) - \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\beta}{2} \right) = \cos \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha + 2\beta}{2}

Izjednačimo levu i novu desnu stranu jednačine.

cos⁡α2=cos⁡α2−cos⁡α+2β2\cos \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha + 2\beta}{2}

Sređivanjem jednačine dobijamo:

cos⁡α+2β2=0\cos \frac{\alpha + 2\beta}{2} = 0

Pošto su α \alpha i β \beta uglovi trougla, važi α+β<π, \alpha + \beta < \pi , pa je 0<α2+β<π. 0 < \frac{\alpha}{2} + \beta < \pi . Jedini ugao u ovom intervalu čiji je kosinus jednak nuli je π2. \frac{\pi}{2} .

α+2β2=π2  ⟹  α+2β=π\frac{\alpha + 2\beta}{2} = \frac{\pi}{2} \implies \alpha + 2\beta = \pi

Kako je zbir uglova u trouglu α+β+γ=π, \alpha + \beta + \gamma = \pi , možemo izjednačiti ova dva izraza.

α+2β=α+β+γ  ⟹  β=γ\alpha + 2\beta = \alpha + \beta + \gamma \implies \beta = \gamma

Pošto su dva ugla trougla jednaka, zaključujemo da je trougao jednakokrak.

β=γ\beta = \gamma

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti