2698. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Polazimo od leve strane identiteta i grupišemo sabirke u parove:

(\cos \alpha + \cos \beta) + (\cos \gamma + \cos(\alpha + \beta + \gamma))

Primenjujemo formulu za transformaciju zbira kosinusa u proizvod $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ na obe zagrade:

2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 \cos \frac{\alpha + \beta + \gamma + \gamma}{2} \cos \frac{\alpha + \beta + \gamma - \gamma}{2}

Sređujemo argumente u drugom sabirku:

2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}

Izvlačimo zajednički faktor $2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$ ispred zagrade:

2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left( \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \right)

Ponovo primenjujemo formulu za zbir kosinusa na izraz u zagradi:

2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left( 2 \cos \frac{\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} + \frac{\alpha - \beta}{2}}{2} \cos \frac{\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2}}{2} \right)

Sređujemo razlomke unutar argumenata novih kosinusa:

2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left( 2 \cos \frac{\frac{2\alpha + 2\gamma}{2}}{2} \cos \frac{\frac{2\beta + 2\gamma}{2}}{2} \right)

Skraćujemo dvojke u brojiocima:

2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left( 2 \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \right)

Množenjem dobijamo konačan izraz, čime je identitet dokazan:

4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}

2698.Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod