2701.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Transformiši izraz u proizvod: cos⁡2α−sin⁡2β. \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta .

cos⁡2α−sin⁡2β\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta
REŠENJE ZADATKA

Zapišimo kvadrate trigonometrijskih funkcija kao proizvode istih funkcija.

cos⁡2α−sin⁡2β=cos⁡αcos⁡α−sin⁡βsin⁡β\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \beta \sin \beta

Primenimo formule za pretvaranje proizvoda u zbir: cos⁡xcos⁡y=12(cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)) \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) i sin⁡xsin⁡y=12(cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)). \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) .

cos⁡αcos⁡α=12(cos⁡(α+α)+cos⁡(α−α))sin⁡βsin⁡β=12(cos⁡(β−β)−cos⁡(β+β))\begin{aligned} \cos \alpha \cos \alpha &= \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \alpha) + \cos(\alpha - \alpha)) \\ \sin \beta \sin \beta &= \frac{1}{2}(\cos(\beta - \beta) - \cos(\beta + \beta)) \end{aligned}

Znamo da je cos⁡0=1, \cos 0 = 1 , pa izrazi postaju:

cos⁡2α=12(cos⁡2α+1)sin⁡2β=12(1−cos⁡2β)\begin{aligned} \cos^2 \alpha &= \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + 1) \\ \sin^2 \beta &= \frac{1}{2}(1 - \cos 2\beta) \end{aligned}

Zamenimo ove izraze u početni zadatak.

cos⁡2α−sin⁡2β=12(cos⁡2α+1)−12(1−cos⁡2β)\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + 1) - \frac{1}{2}(1 - \cos 2\beta)

Sredimo dobijeni izraz tako što ćemo se osloboditi zagrada i grupisati članove.

12cos⁡2α+12−12+12cos⁡2β=12(cos⁡2α+cos⁡2β)\frac{1}{2} \cos 2\alpha + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2\beta = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 2\beta)

Sada primenimo formulu za pretvaranje zbira kosinusa u proizvod: cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2. \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} .

12(cos⁡2α+cos⁡2β)=12⋅2cos⁡2α+2β2cos⁡2α−2β2\frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha - 2\beta}{2}

Skratimo konstante ispred kosinusa i izvučemo zajednički faktor u argumentima kako bismo ih pojednostavili.

cos⁡(2(α+β)2)cos⁡(2(α−β)2)=cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)\cos \left( \frac{2(\alpha + \beta)}{2} \right) \cos \left( \frac{2(\alpha - \beta)}{2} \right) = \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti