2705.

793.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da iz svake od relacija a) i b) sledi da je trougao pravougli:

tg α=cos⁡(β−α)sin⁡(β−α)+sin⁡γ\text{tg } \alpha = \frac{\cos(\beta - \alpha)}{\sin(\beta - \alpha) + \sin \gamma}
REŠENJE ZADATKA

Zbir uglova u trouglu je π, \pi , pa važi γ=π−(α+β). \gamma = \pi - (\alpha + \beta) . Zbog toga možemo izraziti sinus ugla γ \gamma preko uglova α \alpha i β: \beta :

sin⁡γ=sin⁡(π−(α+β))=sin⁡(α+β)\sin \gamma = \sin(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)

Zamenjujemo sin⁡γ \sin \gamma u polaznu jednačinu i zapisujemo tg α \text{tg } \alpha kao količnik sinusa i kosinusa:

sin⁡αcos⁡α=cos⁡(β−α)sin⁡(β−α)+sin⁡(α+β)\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos(\beta - \alpha)}{\sin(\beta - \alpha) + \sin(\alpha + \beta)}

Primenjujemo adicione formule na imenilac desne strane:

sin⁡(β−α)+sin⁡(α+β)=(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)+(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)\sin(\beta - \alpha) + \sin(\alpha + \beta) = (\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha) + (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)

Sređujemo dobijeni izraz poništavanjem suprotnih članova:

sin⁡(β−α)+sin⁡(α+β)=2sin⁡βcos⁡α\sin(\beta - \alpha) + \sin(\alpha + \beta) = 2 \sin \beta \cos \alpha

Vraćamo sređeni imenilac u jednačinu:

sin⁡αcos⁡α=cos⁡(β−α)2sin⁡βcos⁡α\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos(\beta - \alpha)}{2 \sin \beta \cos \alpha}

Množimo obe strane jednačine sa cos⁡α \cos \alpha (uz pretpostavku da je cos⁡α≠0, \cos \alpha \neq 0 , inače bi ugao α \alpha bio prav, pa bi trougao već bio pravougli):

sin⁡α=cos⁡(β−α)2sin⁡β\sin \alpha = \frac{\cos(\beta - \alpha)}{2 \sin \beta}

Množimo obe strane sa 2sin⁡β 2 \sin \beta kako bismo se oslobodili razlomka:

2sin⁡αsin⁡β=cos⁡(β−α)2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\beta - \alpha)

Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda sinusa u zbir na levoj strani jednačine:

2⋅12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))=cos⁡(β−α)2 \cdot \frac{1}{2} (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = \cos(\beta - \alpha)

Kako je kosinus parna funkcija, važi cos⁡(α−β)=cos⁡(β−α). \cos(\alpha - \beta) = \cos(\beta - \alpha) . Jednačina se svodi na:

cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha - \beta)

Oduzimanjem cos⁡(α−β) \cos(\alpha - \beta) sa obe strane dobijamo:

−cos⁡(α+β)=0  ⟹  cos⁡(α+β)=0-\cos(\alpha + \beta) = 0 \implies \cos(\alpha + \beta) = 0

Pošto su α \alpha i β \beta uglovi u trouglu, njihov zbir je strogo između 0 0 i π. \pi . Jedina vrednost za koju je kosinus jednak nuli na tom intervalu je π2: \frac{\pi}{2} :

α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}

Računamo treći ugao trougla γ: \gamma :

γ=π−(α+β)=π−π2=π2\gamma = \pi - (\alpha + \beta) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}

Pošto je ugao γ \gamma prav ugao (90∘ 90^\circ ), dokazali smo da je trougao pravougli.

γ=90∘\gamma = 90^\circ