890.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

sin⁡2x−3−12sin⁡x−34<0\sin^2x-\frac{\sqrt3-1}2\sin x-\frac{\sqrt3}4<0
REŠENJE ZADATKA

Pomnožiti izraz sa 4.4.

4sin⁡2x−(23−2)sin⁡x−3<04\sin^2x-(2\sqrt3-2)\sin x-\sqrt3<0

Uvesti smenu sin⁡x=t.\sin x=t.

4t2−(23−2)t−3<04t^2-(2\sqrt3-2)t-\sqrt3<0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

4t2−(23−2)t−3=04t^2-(2\sqrt3-2)t-\sqrt3=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=4,a=4, b=−23+2b=-2\sqrt3+2 i c=−3c=-\sqrt3

t1,2=23−2±(−23+2)2−4⋅4⋅(−3)2⋅4  ⟹  t1=−12,t2=32t_{1,2}=\frac {2\sqrt3-2\pm\sqrt{(-2\sqrt3+2)^2-4\cdot4\cdot(-\sqrt3)}} {2\cdot4} \implies t_1=-\frac12, \quad t_2=\frac{\sqrt3}2

Rastaviti nejednačinu po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratne jednačine t1t_1 i t2.t_2.

4(t+12)(t−32)<04(t+\frac12)(t-\frac{\sqrt3}2)<0
t∈(−∞,−12)t\in(-\infty,-\frac12)
t∈(−12,32)t\in(-\frac12,\frac{\sqrt3}2)
t∈(32,∞)t\in(\frac{\sqrt3}2, \infty)
t+12t+\frac12
−-
++
++
t−32t-\frac{\sqrt3}2
−-
−-
++
(t+12)(t−32)(t+\frac12)(t-\frac{\sqrt3}2)
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t∈(−12, 32)t\in\bigg(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}2\bigg)

Vratiti sin⁡x\sin x umesto smene t:t:

sin⁡x∈(−12, 32)\sin x\in\bigg(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}2\bigg)

Rešenje nejednačine je:

x∈(−π6+2kπ,π3+2kπ) ∪ (2π3+2kπ,7π6+2kπ),k∈Zx\in\bigg(-\frac{\pi}6+2k\pi, \frac{\pi}3+2k\pi\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{2\pi}3+2k\pi, \frac{7\pi}6+2k\pi\bigg), \quad k\in\mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti