896.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

3cos⁡2x<4tg⁡x\frac{\sqrt3}{\cos^2x}<4\tg x
REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: tg⁡α=sin⁡αcos⁡α \tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}

3cos⁡2x−4sin⁡xcos⁡x<0\frac{\sqrt3}{\cos^2x}-\frac{4\sin x}{\cos x}<0

Svesti sve članove na isti imenilac.

3−4sin⁡xcos⁡xcos⁡2x<0\frac{\sqrt3-4\sin x\cos x}{\cos^2x}<0

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

3−2sin⁡2xcos⁡2x<0\frac{\sqrt3-2\sin 2x}{\cos^2x}<0

Da bi izraz sa leve strane znaka nejednakosti bio negativan i pošto je imenilac pozitivan (kvadrat bilo kog broja je pozitivan), brojilac 3−2sin⁡2x\sqrt3-2\sin2x mora biti negativan.

3−2sin⁡2x<0\sqrt3-2\sin2x<0 za:

x∈(π6, π3) ∪ (π, 2π)x\in\bigg(\frac{\pi}6, \ \frac{\pi}3\bigg) \ \cup \ (\pi,\ 2\pi)
DODATNO OBJAŠNJENJE
x∈(0,π6)x\in(0,\frac{\pi}6)
x∈(π6,π3)x\in(\frac{\pi}6,\frac{\pi}3)
x∈(π3,π)x\in(\frac{\pi}3,\pi)
x∈(π,2π)x\in(\pi,2\pi)
3−2sin⁡2x\sqrt3-2\sin 2x
++
−-
++
−-
cos⁡2x\cos^2x
++
++
++
++
3−2sin⁡2xcos⁡2x\frac{\sqrt3-2\sin 2x}{\cos^2x}
++
−-
++
−-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x∈(π6+kπ, π3+kπ),k∈Zx\in\bigg(\frac{\pi}6+k\pi, \ \frac{\pi}3+k\pi\bigg), \quad k\in\mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti