2517.

698

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡2α−sin⁡α1−cos⁡α+cos⁡2α=tg α\frac{\sin 2\alpha - \sin \alpha}{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \text{tg } \alpha
REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta i primenjujemo formule za dvostruki ugao: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha i cos⁡2α=2cos⁡2α−1. \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 .

L=2sin⁡αcos⁡α−sin⁡α1−cos⁡α+(2cos⁡2α−1)L = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha}{1 - \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1)}

U imeniocu se poništavaju jedinice 1 1 i −1, -1 , pa izraz postaje jednostavniji.

L=2sin⁡αcos⁡α−sin⁡α2cos⁡2α−cos⁡αL = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin \alpha}{2 \cos^2 \alpha - \cos \alpha}

Izvlačimo zajednički faktor u brojocu i imeniocu. U brojocu izvlačimo sin⁡α, \sin \alpha , a u imeniocu cos⁡α. \cos \alpha .

L=sin⁡α(2cos⁡α−1)cos⁡α(2cos⁡α−1)L = \frac{\sin \alpha (2 \cos \alpha - 1)}{\cos \alpha (2 \cos \alpha - 1)}

Skraćujemo zajednički izraz (2cos⁡α−1) (2 \cos \alpha - 1) u brojocu i imeniocu, uz uslov da je on različit od nule.

L=sin⁡αcos⁡αL = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Koristeći osnovnu trigonometrijsku definiciju tangensa, dobijamo desnu stranu identiteta.

L=tg αL = \text{tg } \alpha

Ovim je identitet dokazan, jer je leva strana jednaka desnoj.

sin⁡2α−sin⁡α1−cos⁡α+cos⁡2α=tg α\frac{\sin 2\alpha - \sin \alpha}{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \text{tg } \alpha