2604.

743.g

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

2sin⁡α−sin⁡2α2sin⁡α+sin⁡2α=tg2α2\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane identiteta. Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α. \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha .

2sin⁡α−2sin⁡αcos⁡α2sin⁡α+2sin⁡αcos⁡α\frac{2 \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}

Izvlačimo zajednički faktor 2sin⁡α 2 \sin \alpha u brojiocu i imeniocu.

2sin⁡α(1−cos⁡α)2sin⁡α(1+cos⁡α)\frac{2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{2 \sin \alpha (1 + \cos \alpha)}

Skraćujemo razlomak sa 2sin⁡α. 2 \sin \alpha .

1−cos⁡α1+cos⁡α\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}

Na osnovu formule za tangens polovine ugla, znamo da važi tg2α2=1−cos⁡α1+cos⁡α. \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} . Zamenjujemo ovaj izraz.

tg2α2\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}

Dobili smo desnu stranu identiteta, čime je dokaz završen.

2sin⁡α−sin⁡2α2sin⁡α+sin⁡2α=tg2α2\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}