2842. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo trigonometrijski identitet za kosinus dvostrukog ugla: $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 .$

2 (2 \cos^2 x - 1) - 3 \cos x + 2 = 0

Množimo izraz u zagradi sa 2.

4 \cos^2 x - 2 - 3 \cos x + 2 = 0

Sređujemo jednačinu sabiranjem slobodnih članova.

4 \cos^2 x - 3 \cos x = 0

Faktorišemo izraz izvlačenjem zajedničkog činioca $\cos x .$

\cos x (4 \cos x - 3) = 0

Jednačina se svodi na dva slučaja, jer je proizvod jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli.

\cos x = 0 \quad \lor \quad 4 \cos x - 3 = 0

Rešavamo prvu jednačinu $\cos x = 0 .$

x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu $4 \cos x - 3 = 0 .$

\cos x = \frac{3}{4}

Zapisujemo opšte rešenje za drugu jednačinu.

x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje je unija svih dobijenih rešenja.

x \in \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, \pm \arccos \frac{3}{4} + 2k\pi \right\}, \quad k \in \mathbf{Z}

2842.Trigonometrijske jednačine