2848. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ na datu jednačinu.

2 \sin x + 3 (2 \sin x \cos x) = 0

Množimo konstante u drugom sabirku.

2 \sin x + 6 \sin x \cos x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $2 \sin x$ ispred zagrade.

2 \sin x (1 + 3 \cos x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve odvojene jednačine.

\sin x = 0 \quad \lor \quad 1 + 3 \cos x = 0

Rešavamo prvu jednačinu $\sin x = 0 .$

x = k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu tako što izražavamo $\cos x .$

\cos x = -\frac{1}{3}

Opšte rešenje za jednačinu oblika $\cos x = a$ je $x = \pm \arccos a + 2m\pi .$ Primenjujemo ovo na našu jednačinu.

x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje predstavlja uniju rešenja obe jednačine.

x \in \{ k\pi \} \cup \left\{ \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2m\pi \right\}, \quad k, m \in \mathbf{Z}

2848.Trigonometrijske jednačine