2870. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo redukcionu formulu na levu stranu jednačine. Znamo da je $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha .$

\cos \left( \frac{3\pi}{2} + 2x \right) = \sin(2x)

Primenjujemo redukcionu formulu na desnu stranu jednačine. Znamo da je $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha .$

\sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{x}{2} \right) = \cos \frac{x}{2}

Zamenjujemo dobijeni izraz u desnu stranu i koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha) .$

2\sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sqrt{3} \left( 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \right) = \sqrt{3} \sin x

Izjednačavamo pojednostavljenu levu i desnu stranu.

\sin(2x) = \sqrt{3} \sin x

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla na levu stranu $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ i prebacujemo sve članove na jednu stranu.

2\sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\sin x$ ispred zagrade.

\sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Prvi slučaj je:

\sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj je kada je izraz u zagradi jednak nuli:

2\cos x - \sqrt{3} = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešavamo jednačinu po kosinusu.

x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje jednačine, koje predstavlja uniju rešenja oba slučaja.

x \in \left\{ k\pi, \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

2870.Trigonometrijske jednačine