2902. Trigonometrijske jednačine

Podelimo celu jednačinu sa $\sqrt{2} .$

\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 13x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 13x = \sin 17x

Znamo da je $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} .$ Zamenimo ove vrednosti u jednačinu.

\cos \frac{\pi}{4} \sin 13x + \sin \frac{\pi}{4} \cos 13x = \sin 17x

Primenimo adicionu formulu za sinus zbira: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B .$

\sin\left(13x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin 17x

Prebacimo sve članove na jednu stranu jednačine.

\sin 17x - \sin\left(13x + \frac{\pi}{4}\right) = 0

Primenimo formulu za razliku sinusa: $\sin A - \sin B = 2 \sin \frac{A - B}{2} \cos \frac{A + B}{2} .$

2 \sin \frac{17x - \left(13x + \frac{\pi}{4}\right)}{2} \cos \frac{17x + \left(13x + \frac{\pi}{4}\right)}{2} = 0

Uprostimo argumente trigonometrijskih funkcija.

2 \sin\left(2x - \frac{\pi}{8}\right) \cos\left(15x + \frac{\pi}{8}\right) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja.

\sin\left(2x - \frac{\pi}{8}\right) = 0 \quad \lor \quad \cos\left(15x + \frac{\pi}{8}\right) = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

2x - \frac{\pi}{8} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izrazimo $x$ iz prve jednačine.

x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu.

15x + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Sredimo izraz za drugu jednačinu.

15x = \frac{3\pi}{8} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Izrazimo $x$ iz druge jednačine.

x = \frac{\pi}{40} + \frac{m\pi}{15}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja oba slučaja.

x \in \left\{ \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{40} + \frac{m\pi}{15} \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

2902.Trigonometrijske jednačine