2911.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti sisteme jednačina (zadaci 964-971): 2sin⁡x=sin⁡y, \sqrt{2} \sin x = \sin y , 2cos⁡x=3cos⁡y. \sqrt{2} \cos x = \sqrt{3} \cos y .

{2sin⁡x=sin⁡y2cos⁡x=3cos⁡y\begin{cases} \sqrt{2} \sin x = \sin y \\ \sqrt{2} \cos x = \sqrt{3} \cos y \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Kvadriramo obe jednačine sistema kako bismo iskoristili osnovne trigonometrijske identitete:

{2sin⁡2x=sin⁡2y2cos⁡2x=3cos⁡2y\begin{cases} 2 \sin^2 x = \sin^2 y \\ 2 \cos^2 x = 3 \cos^2 y \end{cases}

Sabiranjem ovih dveju jednačina dobijamo:

2sin⁡2x+2cos⁡2x=sin⁡2y+3cos⁡2y2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x = \sin^2 y + 3 \cos^2 y

Izvlačimo 2 ispred zagrade na levoj strani i koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 :

2(1)=sin⁡2y+3cos⁡2y2(1) = \sin^2 y + 3 \cos^2 y

Takođe, koristeći identitet sin⁡2y=1−cos⁡2y, \sin^2 y = 1 - \cos^2 y , zamenjujemo sin⁡2y \sin^2 y u jednačini:

2=1−cos⁡2y+3cos⁡2y2 = 1 - \cos^2 y + 3 \cos^2 y

Sređivanjem jednačine dobijamo vrednost za cos⁡2y: \cos^2 y :

2cos⁡2y=1  ⟹  cos⁡2y=122 \cos^2 y = 1 \implies \cos^2 y = \frac{1}{2}

Sada možemo naći vrednosti za sin⁡2x \sin^2 x i cos⁡2x \cos^2 x zamenom cos⁡2y \cos^2 y i sin⁡2y \sin^2 y u kvadrirane jednačine. Pošto je cos⁡2y=12, \cos^2 y = \frac{1}{2} , sledi da je sin⁡2y=1−12=12. \sin^2 y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .

{2sin⁡2x=12  ⟹  sin⁡2x=142cos⁡2x=3⋅12  ⟹  cos⁡2x=34\begin{cases} 2 \sin^2 x = \frac{1}{2} \implies \sin^2 x = \frac{1}{4} \\ 2 \cos^2 x = 3 \cdot \frac{1}{2} \implies \cos^2 x = \frac{3}{4} \end{cases}

Iz ovoga dobijamo moguće vrednosti za sin⁡x \sin x i cos⁡x: \cos x :

sin⁡x=±12,cos⁡x=±32\sin x = \pm \frac{1}{2}, \quad \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Ove vrednosti odgovaraju uglovima x=±π6+kπ, x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi , gde je k∈Z. k \in \mathbb{Z} .

x=±π6+kπx = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi

Vratimo se na početni sistem da bismo odredili odgovarajuće vrednosti za y. y . Znakovi sin⁡x \sin x i sin⁡y \sin y moraju biti isti, kao i znakovi cos⁡x \cos x i cos⁡y. \cos y .

{sin⁡y=2sin⁡xcos⁡y=23cos⁡x\begin{cases} \sin y = \sqrt{2} \sin x \\ \cos y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cos x \end{cases}

Za x=π6+kπ, x = \frac{\pi}{6} + k\pi , imamo sin⁡x=(−1)k12 \sin x = (-1)^k \frac{1}{2} i cos⁡x=(−1)k32. \cos x = (-1)^k \frac{\sqrt{3}}{2} . Tada je sin⁡y=(−1)k22 \sin y = (-1)^k \frac{\sqrt{2}}{2} i cos⁡y=(−1)k22. \cos y = (-1)^k \frac{\sqrt{2}}{2} . Ovo odgovara uglu y=π4+kπ+2mπ, y = \frac{\pi}{4} + k\pi + 2m\pi , gde je m∈Z. m \in \mathbb{Z} .

y=π4+kπ+2mπy = \frac{\pi}{4} + k\pi + 2m\pi

Za x=−π6+kπ, x = -\frac{\pi}{6} + k\pi , imamo sin⁡x=(−1)k(−12) \sin x = (-1)^k \left(-\frac{1}{2}\right) i cos⁡x=(−1)k32. \cos x = (-1)^k \frac{\sqrt{3}}{2} . Tada je sin⁡y=(−1)k(−22) \sin y = (-1)^k \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) i cos⁡y=(−1)k22. \cos y = (-1)^k \frac{\sqrt{2}}{2} . Ovo odgovara uglu y=−π4+kπ+2mπ. y = -\frac{\pi}{4} + k\pi + 2m\pi .

y=−π4+kπ+2mπy = -\frac{\pi}{4} + k\pi + 2m\pi

Konačno rešenje sistema možemo zapisati objedinjavanjem ova dva slučaja, pri čemu se znakovi ± \pm moraju poklapati.

(x,y)=(±π6+kπ,±π4+kπ+2mπ),k,m∈Z(x, y) = \left( \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \pm \frac{\pi}{4} + k\pi + 2m\pi \right), \quad k, m \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti