2921.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: cos⁡2x−sin⁡2x≥0. \cos 2x - \sin 2x \ge 0.

REŠENJE ZADATKA

Množimo i delimo levu stranu nejednačine sa 2 \sqrt{2} kako bismo iskoristili adicionu formulu.

2(22cos⁡2x−22sin⁡2x)≥0\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x \right) \ge 0

Zamenjujemo vrednosti 22 \frac{\sqrt{2}}{2} sa odgovarajućim trigonometrijskim funkcijama ugla π4. \frac{\pi}{4} .

2(cos⁡π4cos⁡2x−sin⁡π4sin⁡2x)≥0\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos 2x - \sin \frac{\pi}{4} \sin 2x \right) \ge 0

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira: cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta .

2cos⁡(2x+π4)≥0\sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \ge 0

Delimo nejednačinu sa 2. \sqrt{2} .

cos⁡(2x+π4)≥0\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \ge 0

Kosinus je nenegativan kada se njegov argument nalazi u intervalu od −π2+2kπ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi do π2+2kπ, \frac{\pi}{2} + 2k\pi , gde je k∈Z. k \in \mathbb{Z} .

−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le 2x + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Oduzimamo π4 \frac{\pi}{4} od svih strana nejednakosti.

−π2−π4+2kπ≤2x≤π2−π4+2kπ-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \le 2x \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi

Sređujemo izraze na krajevima nejednakosti.

−3π4+2kπ≤2x≤π4+2kπ-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \le 2x \le \frac{\pi}{4} + 2k\pi

Delimo celu nejednakost sa 2 kako bismo izrazili x. x .

−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z-\frac{3\pi}{8} + k\pi \le x \le \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje u obliku intervala.

x∈⋃k∈Z[−3π8+kπ,π8+kπ]x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ -\frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{\pi}{8} + k\pi \right]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti