2932.

Trigonometrijske nejednačine

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ i menjamo desnu stranu nejednačine:

Oduzimamo $\sin^2 x + \cos^2 x$ sa obe strane nejednačine:

Primenjujemo formule za dvostruki ugao $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ i $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} :$

Množimo nejednačinu sa 2 i grupišemo članove:

Prebacujemo 1 na desnu stranu:

Delimo celu nejednačinu sa 2 kako bismo iskoristili adicionu formulu:

Prepoznajemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\frac{\pi}{6}$ ($\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} ,$ $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$) i primenjujemo formulu $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B :$

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Sinus je veći ili jednak $-\frac{1}{2}$ na intervalu:

Dodajemo $\frac{\pi}{6}$ svim delovima nejednakosti:

Skraćujemo razlomak na desnoj strani:

Delimo celu nejednakost sa 2 da bismo dobili rešenje za $x :$

Konačno rešenje možemo zapisati u obliku unije intervala: