2935.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: sin⁡2x−sin⁡x>0,x∈[0,2π]; \sin 2x - \sin x > 0, x \in [0, 2\pi];

REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x \sin 2x = 2 \sin x \cos x i transformišemo nejednačinu.

2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x>02 \sin x \cos x - \sin x > 0

Izvlačimo zajednički činilac sin⁡x \sin x ispred zagrade.

sin⁡x(2cos⁡x−1)>0\sin x (2 \cos x - 1) > 0

Da bismo odredili znak proizvoda, tražimo nule činilaca na intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] .

sin⁡x=0  ⟹  x∈{0,π,2π}2cos⁡x−1=0  ⟹  cos⁡x=12  ⟹  x∈{π3,5π3}\begin{aligned} \sin x &= 0 \implies x \in \{0, \pi, 2\pi\} \\ 2\cos x - 1 &= 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\} \end{aligned}

Dobijene nule dele osnovni interval [0,2π] [0, 2\pi] na četiri podintervala. Formiramo tabelu znakova za svaki činilac.

x∈(0,π3)x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right)
x∈(π3,π)x \in \left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)
x∈(π,5π3)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{3}\right)
x∈(5π3,2π)x \in \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right)
sin⁡x\sin x
++
++
−-
−-
2cos⁡x−12\cos x - 1
++
−-
−-
++
Proizvod\text{Proizvod}
++
−-
++
−-

Na osnovu tabele znakova, proizvod je strogo pozitivan na intervalima gde je znak `+`. Pošto je nejednačina stroga (>0 > 0 ), rubne tačke ne ulaze u rešenje.

x∈(0,π3)∪(π,5π3)x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{3}\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti