2937.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: sin⁡2x>cos⁡x. \sin 2x > \cos x.

REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2 \sin x \cos x .

2sin⁡xcos⁡x>cos⁡x2 \sin x \cos x > \cos x

Prebacujemo sve članove na levu stranu nejednačine.

2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x>02 \sin x \cos x - \cos x > 0

Izvlačimo zajednički činilac cos⁡x. \cos x .

cos⁡x(2sin⁡x−1)>0\cos x (2 \sin x - 1) > 0

Da bismo rešili nejednačinu, analiziraćemo znak svakog činioca na osnovnom intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] . Prvo računamo nule činilaca:

cos⁡x=0  ⟹  x=π2,x=3π22sin⁡x−1=0  ⟹  sin⁡x=12  ⟹  x=π6,x=5π6\begin{aligned} \cos x &= 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2} \\ 2 \sin x - 1 &= 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{5\pi}{6} \end{aligned}

Pravimo tabelu znakova za interval [0,2π]. [0, 2\pi] . Kritične tačke dele interval na pet podintervala.

x∈(0,π6)x \in (0, \frac{\pi}{6})
x∈(π6,π2)x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})
x∈(π2,5π6)x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})
x∈(5π6,3π2)x \in (\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})
x∈(3π2,2π)x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)
cos⁡x\cos x
++
++
−-
−-
++
2sin⁡x−12\sin x - 1
−-
++
++
−-
−-
ProizvodProizvod
−-
++
−-
++
−-

Na osnovu tabele, proizvod je strogo pozitivan na intervalima gde je znak "+".

x∈(π6,π2)∪(5π6,3π2)x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right)

Pošto su funkcije sinus i kosinus periodične sa osnovnim periodom 2π, 2\pi , dodajemo 2kπ 2k\pi svakoj granici intervala kako bismo dobili opšte rešenje, gde je k∈Z. k \in \mathbb{Z} .

x∈(π6+2kπ,π2+2kπ)∪(5π6+2kπ,3π2+2kπ),k∈Zx \in \left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti