3489.

213.d

TEKST ZADATKA

Dokazati da je dati broj iracionalan:

5−1\sqrt{\sqrt{5} - 1}
REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo suprotno, odnosno da je dati broj racionalan. Neka je to broj x. x .

x=5−1∈Qx = \sqrt{\sqrt{5} - 1} \in \mathbb{Q}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo se oslobodili spoljašnjeg korena.

x2=5−1x^2 = \sqrt{5} - 1

Izrazimo 5 \sqrt{5} iz dobijene jednačine.

5=x2+1\sqrt{5} = x^2 + 1

Pošto smo pretpostavili da je x x racionalan broj, tada je i njegov kvadrat x2 x^2 racionalan broj. Zbir racionalnog broja i broja 1 1 je takođe racionalan broj.

x2+1∈Qx^2 + 1 \in \mathbb{Q}

Iz prethodnog koraka sledi da je 5 \sqrt{5} racionalan broj, što predstavlja kontradikciju, jer je poznato da je 5 \sqrt{5} iracionalan broj.

5∉Q\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}

Pošto smo došli do kontradikcije, naša početna pretpostavka je netačna. Zaključujemo da je dati broj iracionalan.

5−1∉Q\sqrt{\sqrt{5} - 1} \notin \mathbb{Q}