Dopuna do kvadrata

Prilikom dopune do kvadrata (bilo kvadrata zbira ili kvadrata razlike) važno je da dodamo i oduzmemo istu vrednost kako jednakost ne bi bila narušena.

Dopuna do kvadrata zbira

1. Počinjemo od izraza: $$a^2 + 2ab$$
2. Da sačuvamo jednakost, dodajemo i oduzimamo (b^2): $$a^2 + 2ab \;=\; a^2 + 2ab + b^2 - b^2$$
3. Grupisanjem prva tri člana dobijamo potpun kvadrat: $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$ pa je: $$a^2 + 2ab = (a + b)^2 - b^2$$

Primer
Za $(x^2 + 6x)$ prepoznajemo $(2ab = 6x)$ pa je $(b = 3)$.
Dodajemo i oduzimamo $(b^2 = 9)$:

Dopuna do kvadrata razlike

1. Počinjemo od: $$a^2 - 2ab$$
2. Dodajemo i oduzimamo (b^2): $$a^2 - 2ab = a^2 - 2ab + b^2 - b^2$$
3. Prva tri člana daju: $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$ pa je: $$a^2 - 2ab = (a - b)^2 - b^2$$

Primer
Za $(y^2 - 8y)$ prepoznajemo $(-2ab = -8y)$ pa je (b = 4).
Dodajemo i oduzimamo $(b^2 = 16)$:

Dopuna do kuba

Prilikom dopune do kuba (bilo kuba zbira ili kuba razlike) važno je da dodamo i oduzmemo istu vrednost kako jednakost ne bi bila narušena.

Dopuna do kuba zbira

1. Počinjemo od izraza: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2$$
2. Da sačuvamo jednakost, dodajemo i oduzimamo $(b^3)$: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - b^3$$
3. Grupisanjem prva četiri člana dobijamo potpuni kub: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$$ pa je: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (a + b)^3 - b^3$$

Primer
Za $x^3 + 6x^2 + 12x$ prepoznajemo

Dodajemo i oduzimamo $(b^3 = 8)$:

Dopuna do kuba razlike

1. Počinjemo od: $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2$$
2. Dodajemo i oduzimamo (b^3): $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + b^3$$
3. Prva četiri člana daju potpuni kub razlike: $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$$ pa je: $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 = (a - b)^3 + b^3$$

Primer
Za $y^3 - 12y^2 + 48y$ prepoznajemo

Dodajemo i oduzimamo $(b^3 = 64)$: