Kompleksni brojevi - uvod

Kompleksni brojevi predstavaljaju proširenje skupa realnih brojeva koje nam omogućava da rešimo probleme koji su izvan domašaja samo realnih brojeva. Jedan takav problem je rešavanje jednačina koje nemaju rešenja u skupu realnih brojeva, na primer:

$x^2=-1$

Ova jednačina nema realno rešenje jer kvadrat bilo kog realnog broja nije negativan. Zato se uvodi nova jedinica imaginarna jedinica označena slovom $i$ i definiše se kao:

$i^2=-1$

Svaki kompleksan broj može se zapisati u obliku:

$z=a+ib$

gde su:

• $a$ - realni deo kompleksnog broja
• $b$ - imaginarni deo kompleksnog broja, broj koji stoji uz $i$
• $i$ - imaginarna jedinica

Na primer, broj $3+2i$ je kompleksan broj sa realnim delom $3$ i imaginarnim delom $2$.

Stepenovanje imaginarne jedinice

Započnimo posmatranjem prvih nekoliko stepena imaginarne jedinice $i$.

$i^1=i$

$i^2=-1$

$i^3=i^2\cdot i=-1 \cdot i = -i$

$i^4=i^3\cdot i=-i \cdot i = -i^2=-(-1)=1$

$i^5=i^4\cdot i=1 \cdot i = i$

$i^6=i^5\cdot i=i \cdot i = i^2=-1$

$i^7=i^6\cdot i=-1 \cdot i = -i$

$i^8=i^7 \cdot i=-i \cdot i = -i^2=-(-1)=1$

Primećujemo da se vrednosti ponavljaju na svaka 4 stepena:

$i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, $i^5=i$, $i^6=-1$, itd.

To znači da je dovoljno podeliti eksponent sa 4 i posmatrati ostatak pri deljenju. Uopšteno, možemo zapisati:

• $i^{4k}=1$
• $i^{4k+1}=i^{4k} \cdot i$
• $i^{4k+2}=-1$
• $i^{4k+3}=-i$

za $k\in\{0,\ 1, \ 3, \ ...\}$

Kako odrediti da li je broj deljiv sa $4$

Broj je deljiv sa 4 ako su njegove poslednje dve cifre zajedno deljive sa 4.

Na primer:

• $132$ $\rarr$ poslednje dve cifre su $32$, a $32\div4=8$, dakle broj $132$ je deljiv sa $4$.
• $157$ $\rarr$ poslednje dve cifre su $57$, a $57\div4=14$ ostatak $1$, dakle broj $157$ nije deljiv sa $4$.

Kako odrediti ostatak pri deljenju sa $4$

Ako broje nije deljiv sa $4$, ostatak može biti $1$, $2$ ili $3$.

• Ako je ostatak $1$, broj ima oblik $4k+1$
• Ako je ostatak $2$, broj ima oblik $4k+2$
• Ako je ostatak $3$, broj ima oblik $4k+3$

Primeri:

$57 \div 4 = 44$, ostatak 1. $\implies 57=4\cdot44 + 1$, odnosno $57=4k+1$, gde je $k=44$.