2482.

670

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

sin⁡(α+β)cos⁡(α−β)=tgα+tgβ1+tgαtgβ\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane datog identiteta:

sin⁡(α+β)cos⁡(α−β)\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)}

Primenjujemo adicione formule za sinus zbira i kosinus razlike:

sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}

Da bismo izraz sveli na tangense, delimo i brojilac i imenilac sa cos⁡αcos⁡β: \cos \alpha \cos \beta :

sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}

Zapisujemo deljenje za svaki sabirak pojedinačno:

sin⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}

Skraćujemo zajedničke faktore i primenjujemo definiciju tangensa tgx=sin⁡xcos⁡x: \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} :

tgα+tgβ1+tgαtgβ\frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}

Ovim smo dobili desnu stranu, čime je identitet uspešno dokazan.

sin⁡(α+β)cos⁡(α−β)=tgα+tgβ1+tgαtgβ\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}