316. Aritmetički niz | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Zbir prvih 12 članova je 354. Zbir članova sa parnim indeksima odnosi se prema zbiru članiva sa neparnim indeksima 32:27. Odrediti diferenciju $d$ i prvi član $a_1.$

REŠENJE ZADATKA

Primenjuje se formula za zbir članova aritmetičkog niza $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

S_{12}=\frac{12}{2}(a_1+a_{12})=354

Primeniti formulu za opšti član $a_k=a_1+(k-1)d:$

6(a_1+(a_1+(a_1+11d))=354

2a_1+11d=\frac{354}{6}=59

Postaviti proporciju $S_{parni}:S_{neparni}=32:27$

\frac{6}{2}(a_2+a_{12}): \frac{6}{2}(a_1+a_{11})=32:27

Primeniti formulu za opšti član $a_k=a_1+(k-1)d:$

3(a_1+d+a_1+11d):3(a_1+a_1+10d)=32:27

Srediti proporciju:

(2a_1+12d):(1a_1+10d)=32:27

27(2a_1+12d)=32(2a_1+10d)

54a_1+324d=64a_1+320d

Rešiti sistem jednačina:

-10a_1+4d=0

2a_1+11d=59

Rešavanjem sistema jednačina dobijaju se po dva rešenja za $a_1$ i $d$ ali se uzimaju samo pozitivna jer se radi o rastućem nizu:

a_1=2, d=5