485. Zadatak | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Odrediti peti član u razvoju:

(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{12}

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=x^{\frac 12},$ $b=(-y)^{\frac 12},$ $n=12$

T_{k+1}=\binom{12}{k} (x^{\frac 12})^{12-k} (-y^{\frac 12})^k = \binom{12}{k} x^{\frac 12\cdot(12-k)} (-1)^{k}y^{\frac 12k}

Peti član u razvoju dobija se za $k=4,$ jer indeksiranje počinje od 0.

T_{5}=\binom{12}{4} x^{\frac12\cdot(12-4)} (-1)^{4}y^{\frac 12 \cdot 4}

Binomni koeficijent se računa po formuli: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!}$

\binom{12}{4} = \frac{12!}{(12-4)! \space 4!}=\frac{12!}{8!\space 4!} = \frac{12\cdot11\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \ 4\cdot3 \cdot 2 \cdot1} = \frac{12\cdot11\cdot 10 \cdot 9}{4\cdot3 \cdot 2 \cdot1}=495

Uvrstiti izračunatu vrednost binomnog koeficijenta.

T_{5}=495 \cdot x^{(6-2)} y^2

Peti član niza je:

T_{5}=495 \cdot x^4 y^2

4. Binomna formula