PrethodniSledeći
522.

23. Binomna formula

TEKST ZADATKA

U razvoju (a−1a)7 \big(a-\frac 1 {\sqrt{a}}\big)^7 odrediti koeficijent člana koji sadrži a−12.a^{-\frac 12} .

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: Tk+1=(nk)a(n−k)bk,T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k, gde je: n=7n=7

Tk+1=(7k)a7−k(−1)k(1a)k=(7k)(−1)ka14−3k2T_{k+1}=\binom{7}{k} a^{7-k}(-1)^k\bigg(\frac 1 {\sqrt{a}}\bigg)^k=\binom{7}{k} (-1)^k a^{\frac {14-3k}2}

Postaviti uslov iz zadatka:

a14−3k2=a−12  ⟹  14−3k2=−12a^{\frac{14-3k}{2}}=a^{-\frac 1 2}\implies \frac {14-3k}2=-\frac 12

Rešavanjem jednačine dobija se:

k=5k=5

Uvrštavanjem dobijene vrednosti za kk dobija se koeficijent traženog člana:

(75)(−1)7=−7!(7−5)! 5!=−7!2! 5!=−7⋅6⋅5!2⋅1⋅ 5!=−7⋅62=−21\binom 7 5(-1)^7=-\frac {7!} {(7-5)! \ 5!}=-\frac {7!} {2! \ 5!}=-\frac {7\cdot 6 \cdot 5!} {2\cdot 1\cdot \ 5!}=-\frac {7\cdot 6} {2}=-21

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu