3358.

167

TEKST ZADATKA

Dokazati da je broj m3−m m^3 - m deljiv sa 6 6 za svaki ceo broj m. m .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo ispitali deljivost, prvo ćemo faktorisati dati izraz. Izvlačimo zajednički činilac m m ispred zagrade.

m3−m=m(m2−1)m^3 - m = m(m^2 - 1)

Zatim primenjujemo formulu za razliku kvadrata na izraz u zagradi.

m(m2−1)=m(m−1)(m+1)m(m^2 - 1) = m(m - 1)(m + 1)

Preuređivanjem činilaca dobijamo proizvod tri uzastopna cela broja.

(m−1)m(m+1)(m - 1)m(m + 1)

Broj 6 6 možemo zapisati kao proizvod prostih brojeva 2 2 i 3. 3 . Da bi broj bio deljiv sa 6, 6 , mora biti deljiv i sa 2 2 i sa 3. 3 .

6=2⋅36 = 2 \cdot 3

Među bilo koja tri uzastopna cela broja, bar jedan mora biti paran, što znači da je njihov proizvod sigurno deljiv sa 2. 2 .

2∣(m−1)m(m+1)2 \mid (m - 1)m(m + 1)

Takođe, među bilo koja tri uzastopna cela broja, tačno jedan mora biti deljiv sa 3, 3 , pa je i ceo proizvod deljiv sa 3. 3 .

3∣(m−1)m(m+1)3 \mid (m - 1)m(m + 1)

Pošto su 2 2 i 3 3 uzajamno prosti brojevi (NZD(2,3)=1 NZD(2, 3) = 1 ), a izraz je deljiv i sa 2 2 i sa 3, 3 , zaključujemo da je deljiv i sa njihovim proizvodom, odnosno sa 6. 6 . Time je dokaz završen.

6∣(m3−m)6 \mid (m^3 - m)