3375.

173

TEKST ZADATKA

Zbir ma kog četvorocifrenog broja i broja napisanog istim ciframa, ali obrnutim redom, deljiv je sa 11. Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Neka je dati četvorocifreni broj označen sa abcd‾, \overline{abcd} , gde su a,b,c,d a, b, c, d njegove cifre i a≠0. a \neq 0 .

Zapišimo ovaj broj u dekadnom sistemu.

abcd‾=1000a+100b+10c+d\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d

Broj napisan istim ciframa, ali obrnutim redom, označavamo sa dcba‾. \overline{dcba} . Njegov dekadni zapis je:

dcba‾=1000d+100c+10b+a\overline{dcba} = 1000d + 100c + 10b + a

Zbir ova dva broja je:

S=abcd‾+dcba‾=(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)S = \overline{abcd} + \overline{dcba} = (1000a + 100b + 10c + d) + (1000d + 100c + 10b + a)

Grupišemo odgovarajuće sabirke:

S=1001a+110b+110c+1001dS = 1001a + 110b + 110c + 1001d

Primetimo da su brojevi 1001 i 110 deljivi sa 11. Računamo njihove količnike pri deljenju sa 11:

1001=11⋅91,110=11⋅101001 = 11 \cdot 91, \quad 110 = 11 \cdot 10

Zamenjujemo ove vrednosti i izdvajamo zajednički činilac 11 ispred zagrade:

S=11⋅91a+11⋅10b+11⋅10c+11⋅91d=11(91a+10b+10c+91d)S = 11 \cdot 91a + 11 \cdot 10b + 11 \cdot 10c + 11 \cdot 91d = 11(91a + 10b + 10c + 91d)

Pošto su a,b,c,d a, b, c, d cifre (koje su celi brojevi), izraz u zagradi 91a+10b+10c+91d 91a + 10b + 10c + 91d je takođe ceo broj. Označimo ga sa q. q .

S=11q,q∈ZS = 11q, \quad q \in \mathbb{Z}

Na osnovu definicije deljivosti, zaključujemo da je zbir deljiv sa 11, čime je dokaz završen.

11∣S11 \mid S