2057.

490.đ

TEKST ZADATKA

Rešiti eksponencijalnu nejednačinu:

(15)2x+11−x>(15)−3\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{2x+1}{1-x}} > \left(\frac{1}{5}\right)^{-3}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da je osnova eksponencijalne funkcije 15 \frac{1}{5} broj koji je manji od 1. Zbog toga, pri prelasku na eksponente, smer znaka nejednakosti se menja.

15<1  ⟹  2x+11−x<−3\frac{1}{5} < 1 \implies \frac{2x+1}{1-x} < -3

Prebacujemo broj -3 na levu stranu i svodimo izraz na zajednički imenilac kako bismo dobili racionalnu nejednačinu.

2x+11−x+3<02x+1+3(1−x)1−x<02x+1+3−3x1−x<0\frac{2x+1}{1-x} + 3 < 0 \\ \frac{2x+1 + 3(1-x)}{1-x} < 0 \\ \frac{2x+1 + 3 - 3x}{1-x} < 0

Sređivanjem brojioca dobijamo konačan oblik nejednačine:

−x+41−x<0\frac{-x+4}{1-x} < 0

Određujemo nule brojioca i imenioca. Brojilac je nula za x=4, x=4 , a imenilac za x=1. x=1 . Formiramo tabelu znakova za dobijene intervale.

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,4)x \in (1, 4)
x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
−x+4-x+4
++
++
−-
1−x1-x
++
−-
−-
−x+41−x\frac{-x+4}{1-x}
++
−-
++

Iz tabele vidimo da je izraz manji od nule u intervalu:

x∈(1,4)x \in (1, 4)