1876.

364.g

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: 3x2−20x+16=x−4 \sqrt{3x^2-20x+16} = x-4

REŠENJE ZADATKA

Da bi iracionalna jednačina oblika f(x)=g(x) \sqrt{f(x)} = g(x) imala realna rešenja, mora biti ispunjen uslov da je desna strana nenegativna, odnosno g(x)≥0. g(x) \ge 0 . Uslov potkorene veličine f(x)≥0 f(x) \ge 0 je automatski ispunjen nakon kvadriranja jer dobijamo f(x)=[g(x)]2≥0. f(x) = [g(x)]^2 \ge 0 .

x−4≥0  ⟹  x≥4x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4

Kvadriramo obe strane polazne jednačine kako bismo se oslobodili korena.

(3x2−20x+16)2=(x−4)2(\sqrt{3x^2-20x+16})^2 = (x-4)^2

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma na desnoj strani jednačine.

3x2−20x+16=x2−8x+163x^2 - 20x + 16 = x^2 - 8x + 16

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo formirali kvadratnu jednačinu.

3x2−20x+16−x2+8x−16=03x^2 - 20x + 16 - x^2 + 8x - 16 = 0

Sređujemo dobijeni izraz.

2x2−12x=02x^2 - 12x = 0

Izvlačimo zajednički činilac 2x 2x ispred zagrade.

2x(x−6)=02x(x - 6) = 0

Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli. Rešavamo dobijene linearne jednačine i dobijamo dva potencijalna rešenja.

x1=0∨x−6=0  ⟹  x2=6x_1 = 0 \quad \lor \quad x - 6 = 0 \implies x_2 = 6

Proveravamo da li prvo rešenje zadovoljava početni uslov x≥4. x \ge 4 .

x1=0<4(odbacuje se)x_1 = 0 < 4 \quad \text{(odbacuje se)}

Proveravamo da li drugo rešenje zadovoljava početni uslov.

x2=6≥4(prihvata se)x_2 = 6 \ge 4 \quad \text{(prihvata se)}

Konačno rešenje jednačine je:

x=6x = 6