1475. Jednačine koje se svode na kvadratne

Primetimo da je jednačina bikvadratnog tipa. Uvodimo smenu $t = x^3$ kako bismo sveli jednačinu na kvadratnu po promenljivoj $t .$

t^2 + 7t - 8 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu koristeći formulu za korene kvadratne jednačine $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .$

t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}

Računamo vrednost diskriminante i korena.

t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2}

Dobijamo dve vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{-7 + 9}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-7 - 9}{2} = -8

Sada vraćamo smenu $x^3 = t$ za oba slučaja kako bismo našli realna rešenja po $x .$

x^3 = 1 \quad \text{ili} \quad x^3 = -8

Korenujemo obe strane jednačina trećim korenom. Pošto je u pitanju neparan koren, svaka jednačina ima tačno jedno realno rešenje.

x_1 = \sqrt[3]{1} = 1 \quad \text{i} \quad x_2 = \sqrt[3]{-8} = -2

Konačna realna rešenja jednačine su:

x \in \{1, -2\}

1475.Jednačine koje se svode na kvadratne