1487. Jednačine koje se svode na kvadratne

Prvo ćemo srediti proizvod binoma unutar drugog člana jednačine.

(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6

Sada jednačina glasi:

(x^2 - 5x + 7)^2 - (x^2 - 5x + 6) = 1

Uočavamo zajednički izraz $x^2 - 5x$ i uvodimo smenu $t = x^2 - 5x + 7 .$ Tada je $x^2 - 5x + 6 = t - 1 .$

t^2 - (t - 1) = 1

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po promenljivoj $t .$

t^2 - t + 1 = 1 \\ t^2 - t = 0

Rešavamo jednačinu faktorizacijom.

t(t - 1) = 0

Dobijamo dva moguća rešenja za $t :$

t_1 = 0 \quad \text{ili} \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za prvi slučaj $t = 0 :$

x^2 - 5x + 7 = 0

Računamo diskriminantu za prvu jednačinu.

D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3

Pošto je $D < 0 ,$ ova jednačina nema realnih rešenja.

x \in \emptyset

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t = 1 :$

x^2 - 5x + 7 = 1 \\ x^2 - 5x + 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu pomoću formule ili faktorizacije.

x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

Konačna rešenja jednačine su:

x_1 = 3, \quad x_2 = 2

1487.Jednačine koje se svode na kvadratne