1515.

184.v

TEKST ZADATKA

Ako su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja jednačine x2−5x+c=0, x^2 - 5x + c = 0 , odrediti realan parametar c c tako da je: 1x1+1x2=8 \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 8 ;

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo Vijetove formule za zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine.

x1+x2=−baix1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Za datu jednačinu koeficijenti su a=1, a = 1 , b=−5 b = -5 i slobodan član je c. c . Uvrštavamo ove vrednosti u Vijetove formule.

x1+x2=−−51=5ix1⋅x2=c1=cx_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5 \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{1} = c

Sada transformišemo uslov zadatka tako što razlomke svodimo na zajednički imenilac.

1x1+1x2=x2+x1x1⋅x2=x1+x2x1⋅x2\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}

Zamenjujemo vrednosti koje smo dobili iz Vijetovih formula u transformisani izraz, nakon čega izjednačavamo sa 8.

5c=8\frac{5}{c} = 8

Rešavamo dobijenu jednačinu po nepoznatom parametru c. c .

c=58c = \frac{5}{8}

Da bi rešenja x1 x_1 i x2 x_2 bila realni brojevi, diskriminanta kvadratne jednačine mora biti nenegativna (D≥0 D \ge 0 ). Računamo diskriminantu za c=58. c = \frac{5}{8} .

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅58D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{5}{8}

Pojednostavljujemo izraz za diskriminantu.

D=25−52=50−52=452D = 25 - \frac{5}{2} = \frac{50 - 5}{2} = \frac{45}{2}

Kako je D>0, D > 0 , jednačina zaista ima realna rešenja, pa dobijena vrednost ispunjava sve uslove i predstavlja konačno rešenje.

c=58c = \frac{5}{8}